— математическая константа, частное значение дзета-функции Римана в точке .
Приблизительно равна ().
Представление в виде непрерывной дроби начинается следующим образом:
Определение Так как ряд Дирихле дзета-функции Римана сходится только при , стандартное определение этой функции неприменимо для . Однако аналитическое продолжение существует на всей комплексной плоскости, за исключением единственного полюса , и при оно может быть выражено через эта-функцию Дирихле формулой . Таким образом,
Этот ряд сходится очень медленно: чтобы получить его сумму с точностью до трёх знаков, необходимо сложить первый миллион слагаемых.
Кроме того, при вещественных верно эквивалентное определение , поэтому
Из разложения дзета-функции в ряд Лорана получается представление
Ещё одно разложение в ряд:
Из интегрального представления эта-функции Дирихле следует:
Наконец,
Свойства Неизвестно, является ли число периодом.
Рамануджан обнаружил, что для любого положительного числа верно
Первая производная в точке выражается через следующим образом:
Это выражение можно получить дифференцированием функционального уравнения Римана (формулы дополнения для дзета-функции Римана); дальнейшим его дифференцированием можно выразить производные нечётного порядка через производные чётного порядка , , …, .
Старшие производные связаны со значениями дзета-функции Римана и бета-функции Дирихле натуральных аргументов следующим соотношением:
Модуль вещественного аргумента , где , максимален при , то есть для любого .
Для любого конечного верно неравенство ; равенство достигается в пределе , как следует из одного из определений.
Применение в физике При решении дифференциального уравнения в частных производных относительно функции распределения скорости и координаты броуновской частицы вводится милновская длина (). В случае она имеет выражение
откуда
Вычисление Используя приближённое функциональное уравнение, включающее в себя неполную гамма-функцию, значения дзета-функции Римана (и, более того, любой L-функции Дирихле) можно вычислить с точностью за время с использованием памяти . Используя этот метод, Фредрик Юханссон смог вычислить миллион знаков за 17004 секунды (менее 5 часов) на одном ядре; по-видимому, это является рекордной точностью для значений дзета-функции Римана от нецелого аргумента.
Для вычисления с точностью можно задать в формуле Рамануджана; это сведёт к минимуму необходимое для достижения требуемой точности количество слагаемых и позволит получить алгоритм с сложностью .
См. также Постоянная Апери Постоянная Эйлера — Маскерони
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Математические константы Категория:Дзета- и L-функции Категория:Отрицательные числа