Плоскость Зоргенфрея — произведение двух копий прямой Зоргенфрея, то есть вещественной прямой , наделённой топологией стрелки.
Названа в честь .
Свойства Плоскость Зоргенфрея даёт контрпример ко многим правдоподобным утвердениям. В частности, — пример пространства, являющегося произведением пространств Линделёфа, которое само не является пространством Линделёфа. Действительно, антидиагональ — несчётное дискретное подмножество этого пространства. Кроме того, подмножество даёт пример замкнутого несепарабельного подмножества сепарабельного пространства . Этот пример показывает, что сепарабельность не наследуется замкнутыми подпространствами.
Заметим, что множества и замкнуты. Легко видеть, что их нельзя разделить открытыми множествами. Значит не является нормальным. Таким образом, плоскость Зоргенфрея служит контрпримером к утверждению, что произведение нормальных пространств нормально; более того, она показывает, что даже конечное произведение совершенно нормальных пространств может не быть нормальным.
Литература Robert Sorgenfrey, "On the topological product of paracompact spaces", Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947) 631–632.
Категория:Топологические пространства