В математике закон трихотомии утверждает, что каждое вещественное число является либо положительным, либо отрицательным, либо равным нулюTrichotomy Law на MathWorld.
В более общем смысле, бинарное отношение R на множестве X называется трихотомическим, если для любых x и y из X выполняется ровно одно из трёх условий: xRy, yRx или x = y. Записывая R как <, это утверждение в формальной логике выглядит следующим образом:
Согласно этому определению, закон трихотомии утверждает, что отношение < является трихотомическим отношением на множестве вещественных чисел. Другими словами, если x и y — вещественные числа, то выполняется ровно одно из следующих утверждений: x < y, x = y, y < x.
Свойства Отношение является трихотомическим тогда и только тогда, когда оно асимметрично и связно. Если трихотомическое отношение является также транзитивным, то оно представляет собой строгий полный порядок; это частный случай Jerrold E. Marsden & Michael J. Hoffman (1993). Elementary Classical Analysis. W. H. Freeman and Company. p. 27.H.S. Bear (1997). An Introduction to Mathematical Analysis. Academic Press. p. 11..
Примеры На множестве X = {a, b, c} отношение R = {(a, b), (a, c), (b, c)} является транзитивным и трихотомическим, а следовательно, строгим полным порядком. На том же множестве циклическое отношение R = {(a, b), (b, c), (c, a)} является трихотомическим, но не транзитивным; оно даже антитранзитивно.
Трихотомия на числах Закон трихотомии на некотором множестве X чисел обычно выражает тот факт, что неявно заданное на X отношение порядка является трихотомическим. Примером служит утверждение: «Для любых вещественных чисел x и y выполняется ровно одно из трёх условий: x < y, y < x или x = y». (Некоторые авторы фиксируют y = 0, опираясь на структуру линейно упорядоченной группы вещественных чисел относительно сложения.)
В классической логике этот закон трихотомии выполняется для обычных сравнений между вещественными числами, а следовательно, также и для сравнений между целыми числами и рациональными числами. В интуиционистской логике закон в общем виде не выполняется.
В аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля и теории множеств Бернайса закон трихотомии выполняется для кардинальных чисел вполне упорядоченных множеств, но не обязательно для всех кардинальных чисел. Если аксиома выбора выполняется, то трихотомия имеет место для любых кардинальных чисел (поскольку в этом случае все они являются вполне упорядочиваемыми) Bernays, Paul (1991). Axiomatic Set Theory. Dover Publications..
См. также — содержит раннюю формулировку закона трихотомии Дихотомия Закон непротиворечия Закон исключённого третьего
Примечания
Категория:Свойства бинарных отношений Категория:Теория порядков