Тригонометрический потенциал Розена — Морзе — один из точно решаемых потенциалов квантовой механики. Назван в честь физиков Натана Розена и Филипа М. Морса.
Определение В безразмерных единицах и с точностью до аддитивных констант он определяется как
где — относительное расстояние, — параметр масштабирования угла, а — параметр для согласования размерностей. Другая параметризация того же потенциала имеет вид
что является тригонометрической версией одномерного гиперболического потенциала, введённого в молекулярную физику Натаном Розеном и Филипом М. Морзе и задаваемого выражением
это подобие и объясняет название потенциала. Наиболее известное применение касается параметризации , где — неотрицательное целое число, и использованное Эрвину Шрёдингеру, который намеревался сформулировать задачу об атоме водорода в замкнутой Вселенной Альберта Эйнштейна, — прямом произведении оси времени и трёхмерного замкнутого пространства положительной постоянной кривизны (гиперсферы ), и ввёл его на этой геометрии в своё уравнение как аналог кулоновского потенциала.
Случай l+1,0,1 Случай описывает четырёхмерный жёсткий ротатор в инерциальном квантовом движении на трёхмерной гиперсфере — поверхность в четырёхмерном евклидовом пространстве, , которая определяется как
где , , и — декартовы координаты вектора в , а называется гиперрадиусом. Соответственно, оператор Лапласа в задаётся выражением
Переходя к полярным координатам,
находим оператор Лапласа, выраженный как
Здесь обозначает квадрат оператора момента импульса в четырёх измерениях, тогда как — стандартный трёхмерный квадрат оператора момента импульса. Рассматривая гиперсферический радиус как константу, получаем оператор Лапласа — Бельтрами на в виде
Таким образом, свободное волновое уравнение на принимает форму
Решения этого уравнения представляют собой так называемые четырёхмерные гиперсферические гармоники, определяемые как
где — многочлены Гегенбауэра. Делая замену переменных в согласно
можно заметить, что функция удовлетворяет одномерному уравнению Шрёдингера с потенциалом в соответствии с
Одномерный потенциал в последнем уравнении, совпадающий с потенциалом Розена — Морзе в для и , ясно показывает, что для целых значений первый член этого потенциала берёт свое начало от центробежного барьера на . Иными словами, уравнение и его версия описывают инерциальное (свободное) квантовое движение жесткого ротатора в четырёхмерном евклидовом пространстве, , такого как атом водорода, позитроний и т. д., «концы» которого описывают большие «круги» (то есть сферы ) на .
Теперь возникает вопрос, может ли второй член в также быть каким-то образом связан с геометрией .
Случай l+1,b,1 Случай описывает конфайнмент электрического заряда на и дипольный потенциал, имеющий форму .
Поскольку функция котангенса является решением уравнения Лапласа — Бельтрами на ,
она представляет собой фундаментальное решение на , по причине чего Шрёдингер рассматривал её как аналог кулоновского потенциала в плоском пространстве, который сам по себе является фундаментальным решением для лапласиана в . Из-за этой аналогии функция котангенса часто называется потенциалом «искривленного Кулона» (curved Coulomb). Такая интерпретация приписывает потенциал котангенса одиночному источнику заряда, и здесь кроется серьёзная проблема. А именно, в то время как открытые пространства, такие как , поддерживают одиночные заряды, в замкнутых пространствах одиночный заряд не может быть определен непротиворечивым образом. Замкнутые пространства неизбежно электронейтральны, что означает, что минимальные фундаментальные степени свободы, допустимые на них, — это зарядовые диполи (см. рис. 1).
По этой причине волновое уравнение
которое при замене переменных преобразуется в знакомое одномерное уравнение Шрёдингера с тригонометрическим потенциалом Розена — Морзе ,
в действительности описывает квантовое движение зарядового диполя, возмущённого полем другого зарядового диполя, а не движение одиночного заряда внутри поля, созданного другим зарядом. Иными словами, два уравнения и строго говоря не описывают атом водорода на , а скорее описывают квантовое движение на лёгкого диполя , возмущённого дипольным потенциалом другого, очень тяжёлого диполя (подобного атому водорода), так что приведённая масса будет порядка массы электрона, и ею можно пренебречь по сравнению с энергией.
Чтобы понять эту трудность, необходимо обратить внимание на необходимость выполнения на как закона Гаусса, так и принципа суперпозиции для возможности формулировки электростатики. Функция котангенса в в качестве потенциала одиночного источника не позволяет этого. Скорее, необходимо доказать, что функция котангенса представляет собой дипольный потенциал. Чтобы понять логику аргументации работы, необходимо вернуться к выражению для оператора Лапласа в и, прежде чем рассматривать гиперрадиус как константу, факторизовать это пространство на ось времени и . Для этой цели вводится переменная «времени» через логарифм радиуса . Введение этой замены переменной в приводит к следующему лапласиану:
Параметр известен как «конформное время», а вся процедура называется «радиальным квантованием». Теперь строится электростатика с условием =const в и вычисления гармонической функции для оставшейся части, так называемого конформного лапласиана на , который считывается из как
где выбрано или эквивалентно .
Тогда правильное уравнение, которое следует использовать для вычисления фундаментального решения, имеет вид:
.
Эта функция Грина для была вычислена ранее.
Её значения на Южном и Северном полюсах, обозначенные соответственно и , сообщаются как
и
Исходя из них, теперь можно построить дипольный потенциал для фундаментального заряда , помещённого, скажем, на Северном полюсе, и фундаментального заряда противоположного знака, , помещённого на антиподальном Южном полюсе сферы . Соответствующие потенциалы и затем строятся путём умножения значений функции Грина на соответствующие заряды в виде:
Теперь, предполагая справедливость принципа суперпозиции, мы получаем, что потенциал зарядового диполя (CD) в точке на равен
Электрическое поле этого диполя получается стандартным способом через дифференцирование как
и совпадает с точным выражением, предписываемым теоремой Гаусса на , как объяснено в. Заметим, что обозначает безразмерные заряды. В терминах размерных зарядов , связанных с соотношением
потенциал, воспринимаемый другим зарядом , равен
Например, в случае электростатики фундаментальный заряд принимается равным заряду электрона, , и в этом случае вводится специальное обозначение
для так называемой фундаментальной константы связи электродинамики. В результате получается
На рис. 2 показан дипольный потенциал из .
Таким образом, одномерное уравнение Шрёдингера, которое описывает на квантовое движение электрического зарядового диполя, возмущённого тригонометрическим потенциалом Розена — Морзе, создаваемым другим электрическим зарядовым диполем, принимает вид
Из-за соотношения , где — число узлов волновой функции, можно изменить обозначение волновых функций с на более привычное в литературе .
В уравнениях - можно узнать одномерное волновое уравнение с тригонометрическим потенциалом Розена — Морзе из для и .
Таким образом, котангенциальный член тригонометрического потенциала Розена — Морзе можно вывести из закона Гаусса на в комбинации с принципом суперпозиции, и его можно интерпретировать как дипольный потенциал, генерируемый системой, состоящей из двух противоположных фундаментальных зарядов. Центробежный член этого потенциала генерируется оператором кинетической энергии на . Таким образом, полный тригонометрический потенциал Розена — Морзе может быть выведен из первых принципов.
Возвращаясь к работе Шрёдингера, гиперрадиус для атома водорода оказался действительно очень большим и составляющим величину порядка . Это на восемь порядков больше размера атома водорода. Этот результат был получен путём подгонки элементов магнитного диполя к эффектам сверхтонкой структуры водорода (см.} и ссылки в ней). Вышеупомянутый радиус достаточно велик, чтобы позволить аппроксимировать гиперсферу локально плоским пространством, и в этом случае существование одиночного заряда все еще может быть оправдано. В случаях, когда гиперсферический радиус становится сопоставимым с размером системы, берёт верх электронейтральность. Такой пример будет представлен в разделе 6 ниже.
Точные решения уравнений -, задаются в виде
где обозначают полиномы Романовского.
Применение к кулоновским жидкостям Кулоновские жидкости состоят из дипольных частиц и моделируются с помощью прямого численного моделирования. Обычно используются кубические ячейки с периодическими граничными условиями в сочетании с методами суммирования Эвальда. В более эффективном альтернативном методе, предложенном в, в качестве ячейки моделирования применяется гиперсферическая поверхность из . Как уже упоминалось выше, базовым объектом на является электрический зарядовый диполь, называемый «би-зарядом» (bi-charge) в гидродинамике, который можно классически визуализировать как жёсткую «гантель» (жёсткий ротатор) из двух антиподальных зарядов противоположных знаков, и . Потенциал би-заряда вычисляется путём решения на уравнения Пуассона:
Здесь — угловая координата заряда , помещённого в точку , отсчитываемую от Северного полюса, тогда как обозначает антиподальную к угловую координату расположения, в которую помещён заряд противоположного знака в Южном полушарии. Найденное решение,
равно потенциалу в с точностью до соглашений о знаках зарядов и единицах. Это предоставляет альтернативное доказательство тому, что дается уравнениями -, подтверждая факт, что функция котангенса на должна быть связана с потенциалом, генерируемым зарядовым диполем. В отличие от этого, потенциалы в приведённых выше уравнениях и интерпретировались в как обусловленные так называемыми одиночными источниками «псевдозаряда» (pseudo-charge), где «псевдозаряд» понимается как ассоциация точечного заряда с однородным нейтрализующим фоном общего заряда . Потенциал псевдозаряда является решением уравнения . Следовательно, потенциал би-заряда представляет собой разность потенциалов двух антиподальных псевдозарядов противоположных знаков.
Применение к конфайнменту цвета и физике кварков Удерживающая природа котангенциального потенциала в находит применение в явлении, известном из физики сильного взаимодействия, которое относится к ненаблюдаемости свободных кварков, составляющих адронов. Считается, что кварки обладают тремя фундаментальными внутренними степенями свободы, условно называемыми «цветами»: красный , синий и зеленый , тогда как антикварки несут соответствующие антицвета: антикрасный , антисиний или антизеленый , что означает, что ненаблюдаемость свободных кварков эквивалентна ненаблюдаемости свободных цветовых зарядов и, тем самым, «цветовой нейтральности» адронов. Кварковые «цвета» являются фундаментальными степенями свободы квантовой хромодинамики (КХД) — калибровочной теории сильного взаимодействия. В отличие от квантовой электродинамики, калибровочной теории электромагнитных взаимодействий, КХД является неабелевой теорией, что в общих чертах означает, что «цветовые» заряды, обозначаемые , не являются константами, а зависят от значений переданного импульса , порождая так называемую бегущую константу сильной связи , и в этом случае закон Гаусса становится более сложным. Однако при низких передачах импульса, вблизи так называемого инфракрасного режима, импульсная зависимость цветового заряда значительно ослабевает, и, начиная приближаться к постоянному значению,