Евклидова группа — группа преобразований евклидова пространства , которые сохраняют евклидово расстояние между любыми двумя точками. Обычно обозначается как или (сокр. от. англ. ‘’inhomogeneous special orthogonal group’’ — неоднородная специальная ортогональная группа), где — размерность пространства. Евклидова группа включает в себя все параллельные переносы, повороты и отражения пространства , а также любые их конечные комбинации. Евклидову группу можно рассматривать как группу симметрии самого пространства; она содержит группу симметрии любой фигуры (подмножества) этого пространства. Евклидова группа называется ‘’прямой’’ или ‘’обратной’’ в зависимости от того, сохраняет ли она ориентацию фигур. Прямые евклидовы группы образуют подгруппу — ‘’’специальную евклидову группу’’’ (часто обозначаемую или ), элементы которой называют евклидовыми движениями. Они представляют собой произвольные комбинации параллельных переносов и поворотов, но не включают в себя отражения. Евклидова группа относится к числу старейших и наиболее изученных — по крайней мере, в случаях размерностей 2 и 3; причем она изучалась неявно задолго до того, как было введено само понятие группы. Евклидова группа имеет степеней свободы; 3 при и 6 при . Из них можно отнести к трансляционной симметрии, а оставшиеся — к вращательной симметрии. Естественная топология евклидова пространства индуцирует топологию на евклидовой группе E(n). А именно, последовательность изометрий fi пространства () считается сходящейся тогда и только тогда, когда для любой точки p пространства последовательность точек pi сходится. Евклидова группа является не только топологической группой, но и группой Ли. Евклидова группа является подгруппой группы аффинных преобразований. Её подгруппами являются группа параллельных переносов T(n) и ортогональная группа O(n). Любой элемент группы E(n) единственным образом представляется как параллельный перенос, за которым следует ортогональное преобразование (линейная часть изометрии): где A — ортогональная матрица, или то же ортогональное преобразование, за которым следует параллельный перенос: где
См. также Группа Пуанкаре Центральная симметрия
Литература
William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp.
Категория:Группы Ли *