Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Впервые введена Грассманом в 1844 году.
Внешняя алгебра над пространством обычно обозначается . Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.
Определение и связанные понятия Внешней алгеброй векторного пространства над полем называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры по двустороннему идеалу , порождённому элементами вида : . Если характеристика поля , то идеал в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида .
Умножение в такой алгебре при этом называют внешним произведением. По построению оно антикоммутативно:
k-й внешней степенью пространства называют векторное пространство , порождённое элементами вида
причём и при .
Если и — базис , то базисом является множество
Тогда
причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку: если и , то
Свойства
Элементы пространства называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением. В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
Внешний квадрат произвольного вектора нулевой:
Для r-векторов при чётном r это неверно. Например
Линейно независимые системы из -векторов и из порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда -векторы и пропорциональны.
См. также Алгебра Клиффорда Тензорная алгебра Симметрическая алгебра Поливектор
Ссылки Винберг Э. Б. Курс алгебры. — : Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7 Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — : Наука, 1977. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — : Физматлит, 2009. Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — : Мир, 1984.
Категория:Линейная алгебра Категория:Дифференциальные формы