В классической механике уравне́ния Аппе́ля рассматривают как альтернативную формулировку общих уравнений движения, предложенных Ньютоном. Выписаны Полем Аппелем в 1900 . Несмотря на то, что эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям, получаемым из законов Ньютона и принципа наименьшего действия, уравнения Аппеля в ряде случаев оказываются более удобными, в частности, в случае, когда система стеснена механическими связями.
Формулировка Пусть задана механическая система из материальных точек с массами , на которые наложены геометрические (1) и линейные кинематические (2) связи: (1) (2)
Требуется описать движение системы, если известны активные силы (силы, действующие на каждую точку, зависят от времени, расположения всех точек и их скоростей), и известно начальное состояние системы (положение и скорости всех точек в начальный момент времени).
Одно из важнейших предположений о механической системе, необходимое для справедливости уравнений Аппеля, состоит в том, что возникающие реакции связей предполагаются идеальными, то есть суммарно не производящими работы на любом виртуальном перемещении точек системы.
В случае голономной системы, когда кинематические связи отсутствуют или интегрируемы (то есть сводятся к геометрическим связям), уравнения Аппеля имеют вид:
(3)
где — число геометрических степеней свободы системы; — произвольная система независимых между собой обобщённых координат, параметризующих пространство возможных геометрических положений системы во всякий момент времени (таким образом, использование этих координат полностью учитывает геометрические связи, наложенные на систему); — «обобщенные силы» — коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил на произвольном виртуальном перемещении :
(4) — так называемая «энергия ускорений», в формуле (3) величина — функция времени, обобщённых координат и их производных 1-го и 2-го порядков.
В неголономном случае уравнения Аппеля имеют практически тот же самый вид (3), однако в этом случае в формулах участвуют не обобщённые координаты, а псевдокоординаты, которые вводятся следующим образом: (5) .
В этих обозначениях точка сверху над именем переменной не обозначает операцию дифференцирования по времени, а составляет часть единого имени переменной. Переменной , производная которой по времени совпадала бы с написанным выражением для любых путей движения системы, может не существовать, поэтому о ней говорят как о псевдопеременной (или о псевдокоординате). Во все дальнейшие формулы будут входить либо её производные (как минимум первого порядка), либо дифференциалы, поэтому её псевдо-сущность никак не проявится.
Коэффициенты и могут зависеть от времени и координат точек. Кроме того, они должны удовлетворять условию, чтобы определитель матрицы коэффициентов при переменных в линейной системе, образованной уравнениями (5) и (2) (записанных в обобщённых координатах), не обращался бы в ноль.
В случае неголономной системы уравнения Аппеля имеют вид:
(6)
где — число геометрических степеней свободы системы; — система псевдокоординат; — «обобщенные силы» — коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил: ; функция S — та же, что в (4), но выраженная через переменные (в обозначениях переменных только одна из точек — производная по времени!).
Чтобы получить полную систему уравнений движения системы, к уравнениям Аппеля (6) необходимо добавить уравнения кинематических связей (2) и формулы псевдокоординат (5).
Примечания
Литература
Публикации П. Аппеля по данному вопросу PDF copy of Appell’s article at Goettingen University PDF copy of a second article on Appell’s equations and Gauss’s principle
Дополнительная литература Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е издание, переработанное и дополненное — : Изд-во МГУ — 1974 г., 645 с.
Категория:Теоретическая механика Категория:Вариационное исчисление Аппеля уравнения Аппеля