Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа, в частности Теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты; Теорему о разделении выпуклых множеств; Теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала.
Теорема о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты
Легко показать, что одной лишь положительной однородности (такая ошибочная формулировка приведена в Математической энциклопедии) или субаддитивности функционала для справедливости этой теоремы недостаточно.
Контрпример для положительно однородного функционала: , , .
Широко известны различные варианты теоремы о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты для линейных пространств над полем комплексных чисел, когда — полунорма.
Теорема о непрерывном продолжении линейного функционала
Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:
Доказательство Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть . Рассмотрим линейное пространство вида:
Продолжение на запишем:
где — вещественное число, которое необходимо определить. Для произвольных и выполняется:
Отсюда
Как следствие
Определим так
Выполняется равенство .
Определим
Для всех и произвольных выполняется неравенство:
поэтому
Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.
См. также Выпуклый функционал Банаховы пределы
Литература Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с. Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744 с. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.
Примечания
Категория:Функциональный анализ Хана — Банаха