Симплициальный объём — топологический инвариант, определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплициальный объём многообразия обычно обозначается .
Определение
Пусть — замкнутое многообразие, тогда , где — рациональные коэффициенты в представлении его фундаментального класса через сумму сингулярных симплексов.
Свойства Теорема Громова: Симплициальный объём многообразия постоянной отрицательной кривизны равен отношению его объёма к объёму регулярного бесконечного симплекса в пространстве Лобачевского той же кривизны. Более того, Симплициальный объём асферического (и даже рационально существенного) многообразия с гиперболической фундаментальной группой положителен.Corollary 5.3,
Для любых многообразий и той же размерности , где обозначает связную сумму.
Существуют положительные числа и такие, что если сумма размерностей , то , где обозначает прямое произведение.
Для любого отображения
где обозначает степень отображения . В частности: Если многообразие допускает отображение степени , то . Для любого симплициальный объём -мерной сферы равен .
Теорема Бессона — Куртуа — Гало.Théorème D, Следующее неравенство
выполняется для произвольного замкнутого -меного риманова пространства с кривизной Риччи не меньше .
Примечания
Литература
Категория:Топология