Метри́ческое простра́нство — множество вместе со способом измерения расстояния между его элементами — метрикой — двуместной числовой неотрицательной функцией на нём, отвечающей интуитивным представлениям о свойствах расстояния между точками.
Впервые понятие ввёл в 1906 году Морис Фреше в связи с рассмотрением Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74., в дальнейшем стало одним из ключевых понятий не только функционального анализа, но и геометрии и топологии в целом. В дальнейшем сформировалась метрическая геометрия — ветвь геометрии, в которой метрическое пространство является центральным объектом изучения.
Всякое нормированное пространство является метрическим; всякое метрическое пространство является топологическим, важный класс топологических пространств — метризуемые пространства — те, на которых может быть введена метрика. Широко используется также ряд обобщений понятия метрики с различными вариантами ослабления аксиом (псевдометрики, квазиметрики, полуметрики, их комбинации и ряд других вариантов).
Определения Пара , состоящая из множества и функции , называется метрическим пространством, если: (аксиома тождества); (аксиома положительности); (аксиома симметричности); (аксиома треугольника или неравенство треугольника).
В этом случае множество называется подлежащим множеством или носителем метрического пространства; функция называется метрикой или функцией расстояния; элементы множества называются точками метрического пространства.
Иногда дополнительно предполагается, что множество непусто.
Требование неотрицательности значений метрики является избыточным, оно следует из аксиом: .
Аксиомы тождества и данного неравенства треугольника вместе взятые эквивалентны следующему варианту неравенства треугольника: .
Эти условия выражают интуитивные понятия о концепции расстояния и поэтому называются аксиомами расстоянияКудрявцев Л. Д. Математический анализ. II том. — М., Высшая школа, 1970. — с. 296. Например, что расстояние между различными точками положительно и расстояние от до то же самое, что и расстояние от до . Неравенство треугольника означает, что расстояние от до через не меньше, чем прямо от до .
Обычно расстояние между точками и в метрическом пространстве обозначается или . В метрической геометрии принято обозначение или , если необходимо подчеркнуть, что речь идёт о . Также употребляются обозначения и (несмотря на то, что выражение для точек и не имеет смысла). В классической геометрии приняты обозначения или (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).
Связанные определения Биекция между различными метрическими пространствами и , сохраняющая расстояния, называется изометрией. В этом случае пространства и называются изометричными.
Если , и при , то говорят, что сходится к : Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М., Наука, 1972. — с. 22-24.
Если подмножество множества , то, рассматривая сужение метрики на множество , можно получить метрическое пространство , которое называется подпространством пространства .
Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
Метрика на называется внутренней, если любые две точки и в можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к . Пространство называется геодезическим если любые две точки и в можно соединить кривой с длиной, равной .
Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа: , где есть точка в и — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке. Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными. Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
Расстояние от точки до подмножества в определяется по формуле: . Тогда , только если принадлежит замыканию .
Примеры Дискретная метрика: , если , и во всех остальных случаях.
Вещественные числа с функцией расстояния и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
Расстояние городских кварталов: , где , — векторы.
В пространстве непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства в метрическое пространство расстояние между двумя отображениями и определяется как: . Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве . В частном случае, когда — компактное пространство, — числовая прямая, получается пространство всех непрерывных функций на пространстве с метрикой равномерной сходимости.
Пусть , , — пространства функций на отрезке , соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле: . Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)
В пространстве раз непрерывно дифференцируемых функций метрика вводится по формуле: , где — метрика равномерной сходимости на .
Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния (индуцированную метрику) как . Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского. В случае размерности, равной двум — плоскостью Минковского.
Если является последовательностью полунорм, определяющих (локально выпуклое) топологическое векторное пространство , то:
является метрикой, определяющей ту же топологию. (Можно заменить на любую суммируемую последовательность строго положительных чисел.)
Любое связное риманово многообразие можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.
Множество вершин любого связного графа можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую. Частным случаем является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
Расстояние редактирования графа определяет функцию расстояния между графами.
Расстояние Хэмминга — метрика, широко применяемая в теории кодирования.
, такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования текста определяют расстояние над строками.
Множество компактных подмножеств любого метрического пространства можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Точное определение: .
Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.
Метрика Васерштейна определяет расстояние между двумя распределениями вероятностей.
Конструкции Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например: , , . Эти метрики эквивалентны друг другу.
Свойства Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке. Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей. Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).
Метрические пространства с короткими отображениями образуют категорию метрических пространств, обычно обозначаемую .
Вариации и обобщения Для данного множества , функция называется псевдометрикой или полуметрикой на если для любых точек из она удовлетворяет следующим условиям: ; (симметрия); (неравенство треугольника). То есть, в отличие от метрики, различные точки в могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве , где .
Для данного множества функция называется квазиметрикой, если для любых точек , , из она удовлетворяет следующим условиям: ; (квазисимметрия); (обобщённое неравенство треугольника). Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника: .
Иногда удобно рассматривать -метрики, то есть метрики со значениями . Для любой -метрики можно построить конечную метрику, которая определяет ту же топологию. Например, или . Также для любой точки такого пространства множество точек, находящихся от неё на конечном расстоянии, образует обычное метрическое пространство, называемое метрической компонентой . В частности, любое пространство с -метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным .
Другой вариант квазиметрики определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрии; название не вполне устоялось, иногда, например, называется полуметрикой. Пример такой квазиметрики: множество горных сёл, время прогулки между элементами образует квазиметрику, поскольку восхождение вверх занимает больше времени, чем спуск вниз. Другим примером является топология городских кварталов, имеющих улицы с односторонним движением, когда путь из точки в точку состоит из различного набора улиц по сравнению с путём из в .
В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Метаметрики появляются при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет равенству для точек на границе, но в противном случае примерно равно расстоянию от до границы. Метаметрики первым определил Юсси Вяйсяля.
Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям: , . Термин не устоялся, иногда он используется для обобщения других метрик, таких как псевдополуметрики или псевдометрики. В русскоязычной литературе (и в переводах с русского) этот термин иногда появляется как «праметрика». Любая преметрика приводит к топологии следующим образом. Для положительного вещественного определяется -шар с центром в точке как: . Множество называется открытым, если для любой точки в множестве существует -шар с центром в , который содержится в множестве. Любое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, секвенциальным пространством. В общем случае сами -шары не обязаны быть открытыми множествами согласно этой топологии. Как и для метрик, расстояние между двумя множествами и определяется как: . Это определяет преметрику на булеане преметрического пространства. Если начинать с (псевдополу-)метрического пространства, то получается псевдополуметрика, то есть, симметричную преметрика. Любая преметрика приводит к : .