Теорема о конце света (, ; сокращённо далее , нет устоявшегося перевода на русский язык, обычно используют английское название или сокращение DA) — вероятностное рассуждение, которое претендует на то, чтобы предсказывать будущее время существования человеческой расы, исходя только из оценки числа живших до сих пор людей. Исходя из предположения, что живущие сейчас люди находятся в случайном месте всей хронологии человеческой истории, велики шансы того, что мы находимся посередине этой хронологической шкалы. В явной форме это рассуждение было впервые предложено астрофизиком Брендоном Картером в 1983 году, в силу чего его иногда называют «катастрофой Картера»; данное рассуждение было последовательно развито философом и было независимым образом открыто Ричардом Готтом и Хольгером Бек Нильсеном. Похожие принципы эсхатологии были предложены Хайнцем фон Фёрстером и другими.
Формулировка гипотезы Теорема о конце света имеет статус научной гипотезы. Следовательно, она не является ни апокалиптической фантазией, ни псевдонаучной теорией вроде теории о внезапном смещении полюсов Земли. В основе этой теоремы лежит так называемый принцип Коперника, который гласит, что мы являемся обычными наблюдателями Вселенной и находимся в обычных условиях. Или, иначе говоря, мы находимся в середине некоего процесса, и вряд ли в самом его начале или в самом конце. Этот принцип применим к любым процессам и явлениям.
Хотя принцип Коперника кажется самоочевидным и почти тавтологичным, он может быть выражен в математической форме. А именно, он позволяет дать оценку вероятности того, что наблюдатель находится в необычных условиях. В частности, он может дать вероятностную оценку общей продолжительности некоего процесса, исходя из того, сколько времени он уже продолжается (до наблюдения в случайный момент времени) — исходя из предположения, что маловероятно, что наблюдатель случайно оказался в самом начале или в самом конце процесса. Есть две основные формы этого математического предсказания — прямая, в которой вычисляется непосредственная вероятность, называемая формулой Готта, и косвенная, выдвинутая Б. Картером и Дж. Лесли, в которой вычисляются байесовы поправки к априорной вероятности. Основная дискуссия строится вокруг того, можно ли вообще использовать данные о прошлом времени существования объекта для предсказания его будущего времени существования, и если да, то можно ли использовать эти данные, чтобы предсказать будущее число людей и время до «конца света». При этом в обоих случаях оказывается, что получающиеся оценки будущего времени существования человечества неприятны.
Для XXI века вероятность гибели цивилизации, исходя из формулы Готта, применяемой к уровню рождаемости, составляет 15-30 %, в зависимости от числа людей, которые будут в это время жить.
Обозначим через N общее количество людей, когда-либо родившихся, и тех, которые родятся в будущем. Принцип Коперника предполагает, что мы имеем равные шансы (наравне с остальными N − 1 людьми) обнаружить себя в любой из n позиций, так что, предположим, что наша относительная позиция f = n/N равномерно распределена на интервале (0,1] до того, как мы узнаём абсолютное значение нашего номера порядка рождения.
Позволим себе предположить затем, что наша относительная позиция f равномерно распределена на промежутке (0,1] даже после того, как мы узнаём о нашей абсолютной позиции n. Это эквивалентно предположению о том, что мы не имеем априорной информации относительно полного числа людей N.
Теперь мы можем с произвольной величиной интервала уверенности, например 95 % , утверждать, что f = n/N находится в пределах интервала (0.05,1]. Иными словами, мы можем утверждать с 95 % уверенностью, что мы находимся среди последних 95 % когда-либо родившихся людей.
При принятии нашей абсолютной позиции равной n это даёт нам верхнюю границу N, которую мы получаем через перестановку
n / N > 0,05,
что даёт
N < 20n.
Если мы примем, что 60 млрд людей родились вплоть до настоящего момента (оценка Лесли), то тогда мы можем сказать, что с уверенностью 95 % общее число людей N будет менее, чем 20·60 миллиардов = 1,2 триллиона.
Предполагая, что население мира стабилизируется на уровне 10 млрд человек и средняя продолжительность жизни составит 80 лет, нетрудно посчитать, сколько потребуется времени, чтобы оставшиеся 1140 миллиардов людей родились. А именно, данное рассуждение означает, что с 95%-й уверенностью мы можем утверждать, что человеческая раса исчезнет в течение 9120 лет. В зависимости от оценок числа человеческой популяции в текущих столетиях оценки могут варьироваться, однако основная идея рассуждения о том, что человечество скоро вымрет, остаётся неизменной.
Замечания Тот шаг, который переводит N в оценку даты вымирания, зависит от конечного времени продолжительности человеческой жизни. Если бессмертие станет возможным и уровень рождаемости упадёт до нуля, то число N никогда не будет достигнутоФормулировка DA всё равно будет работать, даже если люди достигнут бесконечно большой продолжительности жизни. Джон Естмонд в своей критике 2002 года () заключает, что «бесконечно большая продолжительность сознательной жизни невозможна в принципе», поскольку при отнесении DA к счётному бесконечному множеству моментов наблюдения получается несчётное множество последовательностей бит, необходимых для точного определения каждого момента.. Суммарное число людей, родившихся к настоящему моменту, может зависеть от определения понятия «человек». Точная формулировка DA требует использования байесовой интерпретации вероятности, которая принята широко, почти повсеместно. Даже среди сторонников теоремы Байеса некоторые из предположений, используемые в DA, неприемлемы. Например, то, что оно применяется к хронологическому явлению (как долго продолжается нечто) означает, что распределение N одновременно представляет собой вероятность, зависящую от случая (как будущее событие), и эпистемологическую вероятность (как определённая величина, знание о которой нам неизвестно). Распределение f по U основано на двух разных возможных посылках, и выбор главной из них является произвольным: Принцип равнозначности говорит о том, что для любого случайного человека шансы родиться до меня и после меня во времени равны. Предположение об отсутствии каких-либо априорных знаний о распределении N.
Упрощение: два возможных полных числа людей Предположим, для упрощения рассуждений, что общее число людей, которые когда-либо родятся, составляет либо (N1) = 60 млрд человек, либо (N2) = 6000 млрд человекРассмотрение DA на основе двух вариантов в основывается на опровержении DA Корбом и Оливером, A refutation of the Doomsday Argument by Korb and Oliver . Если у нас нет априорных сведений о том, какую позицию произвольно выбранный индивид X занимает в истории человечества, мы можем вместо этого посчитать, сколько людей родилось до X и, допустим, получить результат в , что, грубо говоря, поместит этого человека в число первых 60 миллиардов родившихся людей.
Теперь, если мы предположим, что число людей, которые когда-либо родятся, равно N1, то тогда вероятность того, что данный человек X оказался среди первых 60 млрд людей, разумеется, равна 100 %.
Однако, если число людей, которые когда-либо родятся, равно N2, то тогда шансы того, что человек X оказался среди первых 60 млрд людей, когда-либо живших, составляют только 1 %, из чего следует, что суммарное число людей, которые когда-либо родятся, скорее всего, гораздо ближе к 60 млрд, чем к 6000 млрд. По существу, DA говорит, что вымирание людей имеет больше шансов случиться рано, чем поздно.
Можно просуммировать вероятности для любого данного N и таким образом получить статистический доверительный интервал для N. Например, если брать приведённые выше числа, можно с уверенностью в 99 % утверждать, что N менее, чем 6000 миллиардов.
Чем данное рассуждение не является DA не утверждает, что человечество не может или не будет существовать вечно. Он также не устанавливает верхней границы на число людей, которые когда-либо будут существовать, и не устанавливает никакой даты того, когда человечество вымрет.
Сокращённая форма DA, однако, делает эти утверждения, поскольку путает вероятности с однозначностью. Однако правильная форма DA такова: Есть 95 % шансов вымирания в течение ближайших 9120 лет. DA даёт 5 процентов шансов на то, что человечество будет всё ещё процветать в районе года нашей эры. (Даты основаны на предположениях, сделанных выше; точные числа зависят от версий DA.)
Различные формулировки Данное рассуждение вызвало оживлённые философские дискуссии, и никакого консенсуса по этому поводу пока не достигнуто. Далее описаны разные формы DA.
Формулировка Готта: неопределённая изначальная оценка суммарной популяции Готт предложил конкретную формулу для априорного распределения числа людей, которые когда-либо родятся (N). DA по версии Готта использует неопределённое априорное распределение:
где P(N) — это априорная вероятность до того, как станет известно n — то есть полное число людей, которые уже родились к настоящему моменту. Константа k выбрана, чтобы нормализовать сумму P(N). Точное её значение здесь не важно, а является просто функциональной формой (это не правильное априорное распределение, так что ни одно значение k не даёт правильного распределения, однако байесовый сдвиг всё равно возможен при его использовании). Поскольку Готт определил априорное распределение для всех людей P(N) для суммарного числа людей, то теорема Байеса и принцип равнозначности дают нам P(N|n) — то есть вероятность того, что N людей родится, если n является случайной выборкой из N:
Это запись теоремы Байеса для апостериорной вероятности того, что полная величина популяции будет N при условии, что текущее значение популяции равно в точности n. Теперь, используя принцип равнозначности, получаем:
Безусловное распределение n текущей популяции идентично неопределённой априорной N функции плотности вероятностиЕдинственная плотность вероятности, которая должна быть распределена априори: Pr(N) — окончательное число людей, которые когда-либо родятся, которое, согласно Ричарду Готту, имеет неопределённое априорное распределение Pr(N) = k/N. Pr(n|N) — шансы родиться в любой принцип Коперника, делая Pr(n|N) = 1/N. На основании этих двух распределений DA выводит байесовое влияние на распределение N от n на основании Байесового правила, которое требует P(n). Для этого проинтегрируем по всем возможным значениям N, которые могут содержать индивида, рождённого в позиции n (то есть, когдаN > n):
Это так, потому что маргинальное распределение n и N идентичны в случае P(N) = k/N'. то есть:
Взяв P(N | n) для каждого конкретного N (через подстановку в уравнение апостериорной вероятности):
Наилучший способ получить оценку момента конца света с заданной уверенностью (скажем, 95 %) это предположить, что N — это непрерывная величина (поскольку она очень велика) и проинтегрировать плотность вероятности от N = n до N = Z (это даст нам функцию вероятности того, что N ≤ Z):
Определяя Z = 20n, получаем:
Это простейшее байесово следствие DA: Шансы на то, что суммарное число людей, которые когда-либо родятся (N), в 20 раз больше того числа людей, которые уже родились, — менее 5 %
Использование неопределённого изначального распределения выглядит приемлемым, поскольку оно использует минимальное количество знания о возможном значении N, при том что какая-то конкретная функция все равно должна быть выбрана. Это эквивалентно предположению о том, что плотность вероятности чьего-либо относительного положения остаётся равномерно распределённой даже после того, как становится известна его абсолютная позиция (n).