Гипо́теза Ри́мана — сформулированная немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году математическая гипотеза о том, что дзета-функция Ри́мана (введённая Эйлером в 1737 году) принимает нулевые значения только в отрицательных чётных числах: (где эти простые нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции), и комплексных числах с вещественной частью («нетривиальные» нули дзета-функции Римана). Гипотеза Римана касается расположения этих нетривиальных нулей и утверждает, что:
Таким образом, если гипотеза верна, все нетривиальные нули дзета-функции Римана (число которых бесконечно) лежат на критической прямой , состоящей из комплексных чисел , где — действительное число, а — мнимая единица.
Особое значение гипотезы Римана состоит в (предположительной) взаимосвязи рисунка распределения на критической прямой нетривиальных нулей дзета-функции Римана с асимптотикой распределения простых чисел. Этот вопрос имеет значение как для чистой математики (в теории чисел), так и для прикладной математики (например, для криптографии). Хотя не было найдено какой-либо закономерности в распределении простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих , — функция распределения простых чисел — выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции. Гипотеза стала основой для дальнейшего доказательства Адамаром и Валле-Пуссеном (1896) теоремы о распределении простых чисел.
Также были выдвинуты гипотезы о возможной связи статистических свойств нетривиальных нулей дзета-функции Римана (а значит — и простых чисел) с явлениями квантовой физики, в частности — с квантовым хаосом.
Гипотеза Римана часто рассматривается в качестве важнейшей нерешённой математической проблемы. Сама гипотеза, в совокупности с гипотезой Гольдбаха, составляют восьмую проблему Гильберта — одну из немногих недоказанных по состоянию на 2023 год проблем Гильберта. Также гипотеза Римана — единственная из проблем Гильберта, включённая в 2000 году в список семи «Задач тысячелетия», за решение каждой из которых Математическим институтом Клэя обещана награда в один миллион долларов США. Несмотря на множество предпринимавшихся (периодически публикуемых) попыток доказательства гипотезы, ни одно из них так и не было признано научным сообществом.
Существует множество математических проблем, доказанных в предположении верности гипотезы Римана, так что её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно в области распределения простых чисел.
На 2004 год численными методами было подтверждено, что более 1013 (десяти триллионов) первых нетривиальных нулей дзета-функции Римана удовлетворяют этой гипотезе, что является хорошим аргументом в пользу истинности этой гипотезы, но не гарантирует её.
Формулировка
Дзета-функция Римана определена для всех комплексных и имеет нули в отрицательных чётных, то есть , такие нули называются тривиальными.
Из функционального уравнения и явного выражения при , где — функция Мёбиуса, следует, что все остальные нули (называемые «нетривиальными»), расположены в полосе симметрично относительно так называемой «критической линии» .
Гипотеза Римана Гипотеза Римана утверждает, что: «Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную », то есть являются комплексными числами, расположенными на прямой .
Обобщённая гипотеза Римана Обобщённая гипотеза Римана — аналог гипотезы Римана для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.
История В 1859 году Бернхард Риман опубликовал работу . В рамках предположения о верности гипотезы Риман писал (для удобства работая, в основном, с зависимой ):
Данное заявление Римана о кси-функции эквивалентно подобному заявлению (формулирующемуся в гипотезу Римана) о зависимой от неё дзета-функции.
Доказательство Адамаром и Валле-Пуссеном в 1896 году теоремы о распределении простых чисел (где они независимо показали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых и ) дало мощный импульс развитию аналитической теории чисел.
В 1900 году Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы, совместно с гипотезой Гольдбаха.
В 1914 году Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже совместно с Литлвудом дал нижнюю оценку доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.
Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера».
Титчмарш и Ворос в 1987 году показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.
Эквивалентные формулировки Риманом была изложена эквивалентная формулировка, гласящая, что все корни ξ(s) вещественны.
В 1901 году Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел: при
Ещё несколько эквививалентных формулировок: Для всех выполняется неравенство Для всех выполняется неравенство где ψ(x) — вторая функция Чебышёва, Для всех выполняется неравенство где — сумма делителей числа , а — постоянная Эйлера-Маскерони. Неравенство нарушается при n = 5040 и некоторых меньших значениях (всего 27 исключений), но Гай Робин в 1984 году показал, что оно соблюдается для всех бо́льших целых, тогда и только тогда, когда гипотеза Римана верна, и что последовательность исключений из условия теоремы Робина бесконечно длинна, если гипотеза Римана неверна. Известно также, что наименьшее из таких чисел-исключений n ≥ 5041 должно быть сверхизбыточным числомAkbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273—275, doi:10.4169/193009709X470128. Для всех выполняется неравенство где — -е гармоническое число. Для любого положительного выполняется неравенство , где — функция Мертенса, см. также обозначение O большое. Более сильная гипотеза была опровергнута в 1985 году. Гипотеза Римана эквивалентна следующему равенству: . Показано, что гипотеза Римана истинна тогда и только тогда, когда интегральное уравнение
не имеет нетривиальных решений для .
Связанные проблемы
Две гипотезы Харди — Литтлвуда В 1914 году Годфри Харольд Харди доказал, что функция имеет бесконечно много вещественных нулей.
Пусть есть количество вещественных нулей, а количество нулей нечётного порядка функции , лежащих на интервале .
Две гипотезы Харди и Литлвуда (о расстоянии между вещественными нулями и о плотности нулей на интервалах при достаточно большом , и как можно меньшем значении , где сколь угодно малое число), определили два направления в исследовании дзета-функции Римана:
Для любого существует , такое что при и интервал содержит нуль нечётного порядка функции . Для любого существуют такие и , что при и справедливо неравенство .
Гипотеза А. Сельберга В 1942 году Атле Сельберг исследовал проблему Харди-Литтлвуда 2 и доказал, что для любого существуют и , такие, что для и справедливо неравенство .
Сельберг высказал гипотезу, что можно уменьшить показатель степени для величины .
В 1984 году А. А. Карацуба доказал, что при фиксированном с условием , достаточно большом и , промежуток содержит не менее вещественных нулей дзета-функции Римана . Тем самым он подтвердил гипотезу Сельберга.
Оценки Сельберга и Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при .
В 1992 году Карацуба доказал, что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков , , где — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой, позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках , длина которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени . В частности, он доказал, что для любых заданных чисел , с условием почти все промежутки при содержат не менее нулей функции . Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.
Возможная связь с квантовой механикой
Приблизительно в начале XX века венгерский математик Дьёрдь Пойа (в 1912—1914 годах), и, предположительно (но не достоверно), Давид Гильберт, сформулировали гипотезу Гильберта — Пойи, указывающую на возможную связь между нетривиальными нулями дзета-функции Римана и явлениями квантовой механикиТрушечкин А. С., Квантовый хаос, периодические орбиты и дзета-функция Римана. // Краткое изложение заявки.Трушечкин А. С., Видеодоклад (2013) по темам: аксиомы квантовой механики, чудо квантовой интерференции, квантовая вероятность, группа Гейзенберга-Вейля, интегралы Фейнмана по путям, квантовая телепортация, квантовый хаос и дзета-функция Римана.:
Пойа предположил, что одним из способов вывести гипотезу Римана является нахождение самосопряжённого оператора, из существования которого последует утверждение о вещественных частях нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Некоторую поддержку гипотеза Гильберта — Пойи находит в ряде аналогов дзета-функции Римана, нули которых соответствуют собственным значениям некоторого оператора: нули дзета-функции многообразия над конечным полем соответствуют собственным значениям элемента Фробениуса на группе , нули дзета-функции Сельберга являются собственными значениями оператора Лапласа римановой поверхности, а нули соответствуют собственным векторам действия Галуа на группах классов идеалов.
В 1973 году американский математик Хью Монтгомери (после общения в 1972 году с Фрименом Дайсоном) сформулировал парную корреляционную гипотезу (не доказанную, но подтверждаемую (, 1987) крупномасштабными численными расчётами), согласно которой корреляционные функции (формфактор для парных корреляций) соответственно нормированных нулей дзета-функции Римана должны быть такими же, как и у собственных значений гауссовой случайной эрмитовой матрицы.
Джон Дербишир обращает внимание на следующие подобия при сравнении поведения нулей дзета-функции Римана и собственных значений гауссовой случайной эрмитовой матрицы: Ни нули дзета-функции Римана, ни собственные значения гауссовой случайной эрмитовой матрицы не похожи на случайно разбросанные точки (отличаются от идеально случайного разброса); Нули дзета-функции и собственные значения эрмитовой матрицы ведут себя сходным образом; Как для нулей дзета-функции, так и для собственных значений эрмитовой матрицы наблюдается эффект отталкивания.
После прояснения ситуации с некоторыми несоответствиями между результатами Одлыжко и предсказаниями модели гауссова унитарного ансамбля (ГУА) (малых интервалов у Одлыжко получилось несколько больше, чем в модели ГУА), парная корреляционная гипотеза Монтгомери стала (впервые в статье Николаса Каца и Питера Сарнака, 1999) «законом Монтгомери — Одлыжко»:
Смысл «нормировки» в «законе Монтгомери — Одлыжко» состоит во внесении поправки в виде растяжения верхней части выбранного интервала путём умножения каждого числа на его логарифм (что необходимо для выравнивания среднего расстояния между нулями дзета-функции Римана — из-за того, что нули по мере движения вверх по критической прямой делаются ближе друг к другу).
Ключевой вопрос, возникающий при подобного рода исследованиях, Дербишир формулирует так:
В 1986 году (ещё до выхода работы Одлыжко 1987 года) английский специалист в области математической физики Майкл Берри в статье «Дзета-функция Римана: модель квантового хаоса?» исследовал вопрос о существовании оператора Римана — оператора, собственные значения которого в точности совпадают с нетривиальными нулями дзета-функции Римана. Берри предположил, что подобный оператор Римана (риманов оператор) существует, и в рамках такого предположения задал следующий вопрос — какую динамическую систему такой риманов оператор может представлять? Его версия состояла в том, что такой риманов оператор может моделировать хаотическую систему.