Треуго́льная ква́нтовая я́ма — одномерная потенциальная яма, ограниченная с одной стороны бесконечно высокой потенциальной стенкой, а с другой — потенциалом, линейно растущим с увеличением координаты. Один из простых профилей потенциала в квантовой механике, допускающих точное решение задачи о нахождении уровней энергии и волновых функций находящейся в яме частицы. Модель треугольной ямы используется, в частности, при исследованиях систем с двумерным электронным газом.
Модель потенциальной ямы Одномерная треугольная потенциальная яма ограничена с одной стороны бесконечно высокой потенциальной стенкой ( при ), а с другой — линейно растущим наклонным потенциалом при (см. рис.1). Такой вид потенциальной энергии соответствует однородному полю, действующему на частицу с силой , не зависящей от координаты. Примерами таких полей являются однородное электрическое поле ( — заряд частицы, — напряженность электрического поля) и гравитационное поле тяжести ( — масса частицы, —ускорение свободного падения).
Решение уравнения Шрёдингера
Уравнения Шрёдингера и граничные условия Уравнение Шрёдингера для частицы в однородном поле имеет вид:
Граничные условия описывают абсолютно упругое отражение от потенциальной стенки при и убывание решения в классически недоступной области при :
Здесь — масса частицы, — редуцированная постоянная Планка, и — искомые энергия и волновая функция частицы.
Замена переменной Для упрощения дальнейшего рассмотрения вводится безразмерная переменная
где . При использовании новой переменной задача сводится к решению уравнения Эйри
с граничными условиями
Общее решение уравнения Шрёдингера Общее решение уравнения Эйри имеет вид:
где и — функции Эйри 1-го и 2-го рода имеют при больших следующие асимптотики
При отрицательных значениях функции Эйри осциллируют и имеют бесконечное число нулей. Из граничного условия на бесконечности и экспоненциального роста следует, что константа , то есть решение задачи следует искать в виде
Дискретные уровни энергии Собственные значения энергии частицы () в треугольной яме определяются из условия обращения в нуль волновой функции на границе бесконечной потенциальной стенки:
где — нули функции Эйри. В результате находим дискретный спектр энергий,
а соответствующая дискретному уровню волновая функция имеет вид:
Для первых пяти нулей значения приближённо равны: , , , , . При больших нули функций Эйри определяются выражением:
Нормировка волновой функции Значения констант находятся из условия нормировки
Вычисляя интеграл от квадрата волновой функции, которая вещественна,
находим нормировочные константы, которые зависят от номера квантового уровня:
где — производная функции Эйри.
Функции ортогональны. В этом можно убедиться, вычислив интеграл от произведения волновых функций, принадлежащих разным квантовым состояниям :
Ширина потенциальной ямы Для рассматриваемой ямы волновые функции экспоненциально убывают при и отличны от нуля при сколь угодно больших расстояниях . Ширина классически доступной () области находится из условия
и составляет
Значения схематически показаны на рисунке 1.
Применение результатов
Задача об энергетическом спектре магнитных поверхностных уровней электронов приближённо сводится к модели треугольной потенциальной ямы. На малых расстояниях от поверхности проводника и в слабом магнитном поле в уравнении Шрёдингера можно пренебречь слагаемыми, квадратичными по векторному потенциалу, и эффективный потенциал ямы линейно зависит от расстояния от поверхности, которая описывается бесконечной стенкой.
Модель треугольной ямы используется при исследованиях двумерного электронного газа в инверсных слоях у границ раздела диэлектрик—полупроводник и границ двух разных полупроводников. Хотя в таких системах профиль зоны проводимости в полупроводнике сложнее, чем линейный, а разрыв зоны проводимости на гетерогранице не является бесконечным (см. рис.2), непосредственно вблизи этой границы яма приближённо считается треугольной, а разрыв зоны достаточно большим.
См. также Квантовое движение в электрическом поле Прямоугольная квантовая яма Осцилляции Зенера — Блоха Квантовый осциллятор Магнитные поверхностные уровни
Примечания
Литература
Категория:Квантовая механика Категория:Потенциал