Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами, которые называются множителями или сомножителями (иногда первый аргумент называют множимым, а второй множителем). Результат умножения называется их произведением.
Для натуральных чисел умножение определяется как многократное сложение — чтобы умножить число на число , надо сложить чисел (умножение далее обозначено приподнятой точкой между сомножителями): . Умножение для других типов чисел — целых, рациональных, вещественных, комплексных — определяется не через многократное сложение, а путём систематического обобщения.
Умножение чисел является коммутативной операцией, то есть порядок записи чисел-множителей не влияет на результат их умножения. Например, умножение чисел и может быть записано как , так и (произносится также «пятью три», «трижды пять»), и результатом в любом случае является число . Проверка через сложение: , .
Умножение определяется не только для чисел, но и для различных нечисловых математических объектов (например, матриц, векторов, множеств, кватернионов и т. д.), для каждого из которых имеет различный смысл, различные определения и свойства. Например, операция умножения для нечисловых объектов не всегда является коммутативной операцией.
При умножении физических величин важную роль играет их размерность, которая равноправно участвует в умножении.
Изучение общих свойств операции умножения входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.
Формы записи, терминология и способы
Умножение записывается с использованием знака умножения (⋅, ×, ∗) между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак умножения является бинарным оператором. Знак умножения не имеет специального названия, тогда как, например, знак сложения называется «плюс».
Самый старый из используемых символов — косой крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г. Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде приподнятой точки (∙). Этот символ он использовал в письме 1698 года. Йоханн Ран ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.
В российских учебниках математики в основном используется знак в виде приподнятой точки (⋅). Звёздочка (∗) используется, как правило, в текстах компьютерных программ.
Результат записывается с использованием знака равенства «», например:
(«шесть умножить на три равно восемнадцать» или «шестью три — восемнадцать»). Часто в математических выражениях знак умножения опускается (не записывается), если это не вызывает неоднозначного прочтения. Например вместо пишется . Как правило, знак умножения опускают, если одним из множителей является однобуквенная переменная, функция или выражение в скобках: , , .
В случае, когда в выражении есть деление на произведение, в котором опущен знак умножения, иногда также опускаются и скобки вокруг произведения: например, выражение может быть записано как . В таком случае простая подстановка знака умножения на место, где он был опущен, приведёт к путанице, поэтому при восстановлении знака умножения в таких выражениях нужно восстанавливать и опущенные скобки (либо считать, что у опущенного умножения приоритет выше, чем у деления). Такое соглашение не является общепринятым и применяется далеко не во всех источниках. Так, в новейших изданиях некоторых учебников алгебры одночлены при делении на них последовательно заключаются в скобки: . ГОСТ Р 54521-2011 «Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах» особо оговаривает: «Символом умножения является точка (·) или косой крестик (×). Знак умножения может быть опущен, если ошибка исключена.»
Традиционно при записи произведения нескольких множителей числа записывают перед переменными, а переменные — перед функциями. Так, выражение будет записано как . Выражения в скобках традиционно записывают последними, то есть выражение будет записано как .
Автором нашего нормального способа умножения многозначного числа на многозначное следует считать Адама Ризе, популярного немецкого педагога (1492—1559). В его руках он получил последнюю отделку и завершение, и теперь он считается самым удобным. Главное отличие способа Адама Ризе заключается в том, что разряды всех чисел и множимого, и множителя, и произведения стоят один под другим в одном вертикальном столбце; благодаря этому сразу видно, к какому разряду принадлежит извѣстная цифра, и, след., сбиться в этом почти нельзя.
Свойства Далее описаны основные свойства операции умножения на числовых множествах .
Умножение коммутативно, то есть от перемены мест множителей произведение не меняется. Свойство также известно как переместительный закон умножения: Коммутативность: Умножение ассоциативно, то есть при последовательном выполнении умножения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения. Свойство также известно как сочетательный закон умножения: Ассоциативность: Умножение дистрибутивно, это свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Свойство также известно как распределительный законТак это свойство обычно называется в школьных учебниках: Дистрибутивность: Относительно умножения в множестве существует единственный нейтральный элемент — (число «один»). Умножение любого числа на (нейтральный элемент) даёт число, равное исходному: Нейтральный элемент: Умножение на идемпотентно, то есть повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное: Идемпотентность: Умножение на (нулевой элемент) даёт (нуль): Нулевой элемент:
Операция умножения чисел, определённых на множествах , даёт произведение, принадлежащее этому же множеству. Следовательно, операция умножения относится к замкнутым операциям, то есть множества чисел образуют кольца относительно операции умножения.
На языке общей алгебры вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что являются абелевыми группами относительно операции умножения.
В математических выражениях операция умножения имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними, но менее высокий приоритет, чем операция возведения в степень.
На множестве вещественных чисел область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон в виде параболы.
Выполнение умножения При практическом решении задачи умножения двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: «простое умножение», сложение, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы умножения, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного умножения. При этом следует рассматривать умножение как процедуру (в отличие от операции).
Процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при умножении больших чисел может занять продолжительное время.
«Простое умножение» в данном контексте обозначает операцию умножения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена к сложению. Является гипероператором сложения:
где — последовательное сложение элементов.
Чтобы упростить и ускорить процесс умножения используют табличный метод «простого умножения», для этого заранее вычисляют все комбинации произведений чисел от 0 до 9 и берут готовый результат из этой таблицы:
*0123456789000000000001012345678920246810121416183036912151821242740481216202428323650510152025303540456061218243036424854707142128354249566380816243240485664729091827364554637281
Данная процедура применима к умножению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.
Умножение чисел
Натуральные числа Первый вариант определения Умножением натуральных чисел называется такое соответствие, которое с каждой парой натуральных чисел и сопоставляет одно и только одно натуральное число , обладающее следующими свойствами: 1) 2) .
Второй вариант определения Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств порождённых биекциями, с помощью скобок: . Тогда арифметическая операция «умножение» определяется следующим образом:
где: прямое произведение множеств — множество , элементами которого являются упорядоченные пары для всевозможных . Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.
Взаимно однозначное отображение конечного множества на отрезок можно понимать как нумерацию элементов множества .
Для умножения натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм умножения. Если даны два натуральных числа и такие, что:
где ;
— количество цифр в числе ;
— порядковый номером разряда (позиции), ;
— основание системы счисления;
множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления:
,
,
; тогда:
умножая поразрядно, получаем промежуточных результатов:
где: — значение переноса, — функция нахождения остатка от деления, — функция нахождения неполного частного.
Затем полученные промежуточных результатов складываем:
Таким образом операция умножения сводится к процедуре последовательного простого умножения одноразрядных чисел , с формированием переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо последовательным сложением. И далее к сложению.
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей умножения, соответствующей данному основанию системы счисления.
Пример умножения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, перенос пишется сверху:
Целые числа Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел , получаемое добавлением отрицательных чисел вида . Множество целых чисел обозначается Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами.
Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру умножения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев: Если оба аргумента положительные, тогда: Если один из аргументов отрицателен, тогда: либо Если оба аргумента отрицательны, тогда:
Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного умножения. Например, рассмотрим выражение: ; так как у чисел и разные знаки, то выносим минус за скобки: , вычисляя далее получим ответ: .
Рациональные числа Множество рациональных чисел обозначается (от «частное») и может быть записано в таком виде:
Для умножения рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: , следует числители и знаменатели дробей умножить друг на друга.
Если даны два рациональных числа и такие, что: (дроби не сокращаемые), тогда:
Пример умножения:
Арифметическая операция «умножение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.
Вещественные числа Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжениеПоскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида соответствующих операций над рациональными числами.
Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями: