Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.
Определение Пусть задано — индексированное семейство (не обязательно различных) объектов категории . Объект категории вместе с семейством морфизмов является произведением семейства объектов , если для любого объекта и любого семейства морфизмов существует единственный морфизм , для которого следующая диаграмма:
коммутативна для каждого (то есть ). Морфизмы называются каноническими проекциями.
Приведенное определение равносильно следующему:
Объект вместе с семейством проекций является произведением семейства объектов тогда и только тогда, когда для любого объекта отображение
биективно.
Произведение двух объектов обычно обозначают , при этом диаграмма принимает вид
Морфизм при этом иногда обозначается .
Единственность результата операции можно альтернативно выразить как равенство , верное для любых .
Примеры В категории множеств категорное произведение совпадает с декартовым. В категории топологических пространств произведению пространств соответствует пространство, носитель которого является декартовым произведением носителей сомножителей, а топология определяется как произведение их топологий. В категории групп произведение групп определяется как их прямое произведение. В категории проективных многообразий категорное произведение можно задать при помощи вложения Сегре. Частично упорядоченное множество может рассматриваться как категория, в которой морфизм из в существует тогда и только тогда (по определению), когда (причём между двумя объектами не может быть более одного морфизма). При этом произведением семейства линейно упорядоченных объектов является их наибольшая нижняя грань, а копроизведением — наименьшая верхняя грань.
Свойства Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма. Коммутативность: Ассоциативность: Если в категории существует терминальный объект , то Приведённые выше свойства формально сходны со свойствами коммутативного моноида. Более точно, категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричной моноидальной категорией.
Дистрибутивность В общем случае существует канонический морфизм , где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:
Свойство универсальности для гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.
Матрица преобразований Любой морфизм
порождает множество морфизмов
задаваемых по правилу и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования задаёт единственный соответствующий морфизм Если в категории существует нулевой объект то для любых двух объектов существует канонический нулевой морфизм: В этом случае матрица преобразования , задаваемая по правилу
называется единичной матрицей.
Пример В категории конечномерных векторных пространств копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное определение матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных, а также и в прямое произведение одномерных. Различие состоит в том, что в категорном определении элементы матрицы — это преобразования одномерного пространства в одномерное, тогда как в обычном определении в этих одномерных пространствах выбраны базисы и можно указывать только координату образа базисного вектора пространства-прообраза в базисе пространства-образа.
См. также Копроизведение — понятие, двойственное произведению. Декартово замкнутая категория
Примечания
Литература
Маклейн С. Категории для работающего математика. — : Физматлит, 2004 .
Категория:Теория категорий Категория:Пределы (теория категорий)