Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.
Важнейшим примером симплектического многообразия является кокасательное расслоение . Симплектическая структура позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам: если — конфигурационное пространство механической системы, то — соответствующее ему фазовое пространство.
Определение Дифференциальная 2-форма называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю,
и для любого ненулевого касательного вектора найдётся вектор такой, что
Многообразие с заданной на нём симплектической формой называется симплектическим многообразием.
Замечания Из определения следует, что симплектическое многообразие имеет чётную размерность. Если размерность равна , то невырожденость формы эквивалентна условию .
Связанные определения Диффеоморфизм симплектических многообразий называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.
Пусть — произвольная гладкая функция на симплектическом многообразии. Симплектическая форма ставит в соответствие функции векторное поле , определяемое следующим тождеством:
Это определение аналогично определению градиента и иногда называется симплектическим градиентом функции . Поле , которое можно получить таким образом называется гамильтоновым. В силу невырожденности формы векторное поле определено однозначно. В координатах Дарбу это отображение принимает вид
соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом называется гамильтонианом (функцией Гамильтона).
Скобки Пуассона превращают множество гамильтонианов на в алгебру Ли и определены по правилу
Свойства Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать координаты, называемые координатами Дарбу, в которых симплектическая форма имеет вид
При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру (следует из формулы Картана):
Здесь — производная Ли по векторному полю . Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом. В частности, поскольку — форма объёма на , то получаем теорему Лиувилля о сохранении фазового объёма:
Контактная структура С каждым симплектическим -мерным многообразием каноническим образом связано -мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого -мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся -мерным многообразием.
Вариации и обобщения Многообразие называется мультисимплектическим степени , если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.
См. также Симплектическое пространство Метрика Хофера — естественная биинвариантная метрика на группе гамильтоновых симплектоморфизмов
Ссылки Д. В. Аносов. «О развитии теории динамических систем». Симплектическая геометрия. Лекция 5: Скобки Пуассона, дифференциальные формы и поливекторы 2013
Литература
Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-е изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — : Изд. МГУ, 1988. — 414с.
Категория:Симплектическая геометрия Категория:Структуры на многообразиях Категория:Теоретическая механика Категория:Гамильтонова механика