Ряд Дирихле — функциональный ряд вида
где — числовые коэффициенты.
Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число , что при он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число , что при ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение (если и конечны).
Ряды Дирихле играют значительную роль в теории чисел. Наиболее распространёнными примерами рядов Дирихле являются дзета-функция Римана и L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.
Сходимость в разных точках Если некоторый ряд сходится в комплексной точке , то этот же ряд сходится в любой точке , для которой . Из этого следует, что существует некоторая точка такая, что при ряд сходится, а при — расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.
Абсциссой абсолютной сходимости для ряда называется точка такая, что при ряд сходится абсолютно. Справедливо утверждение о том, что .
Поведение функции при может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка является особой для некоторого ряда Дирихле, если — его абсцисса сходимости.
Примеры При , где — дзета-функция Римана. , где — функция Мёбиуса , где — функция Лиувилля , где — число делителей числа
, где — число простых делителей числа
При , где — функция Эйлера , где — L-функция Дирихле.
, где Lix(z) — полилогарифм.
Гармонический ряд
расходится.
Примечания
Категория:Аналитическая теория чисел Категория:Дзета- и L-функции Категория:Ряды