Показателем, или мультипликативным порядком, целого числа по модулю называется наименьшее положительное целое число , такое, что
Показатель определен только для чисел , взаимно простых с модулем , то есть для элементов группы обратимых элементов кольца вычетов по модулю . При этом, если показатель числа по модулю определен, то он является делителем значения функции Эйлера (следствие теоремы Лагранжа) и значения функции Кармайкла .
Чтобы показать зависимость показателя от и , его также обозначают , а если фиксировано, то просто .
Свойства , поэтому можно считать, что показатель задан на классе вычетов по модулю . . В частности, и , где — функция Кармайкла, а — функция Эйлера.
; если , то Если — простое число и , то — все решения сравнения . Если — простое число, то — образующая группы . Если — количество классов вычетов с показателем , то . А для простых модулей даже . Если — простое число, то группа вычетов циклична и потому, если , где — образующая, , а — взаимно просто с , то . В общем случае для произвольного модуля можно вывести аналогичную формулу, пользуясь теоремой о структуре мультипликативной группы вычетов .
Пример Так как , но , , , то порядок числа 2 по модулю 15 равен 4.
Вычисление Если известно разложение модуля на простые множители и известно разложение чисел на простые множители, то показатель заданного числа может быть найден за полиномиальное время от . Для вычисления достаточно найти разложение на множители функции Кармайкла и вычислить все для всех . Поскольку число делителей ограничено многочленом от , а возведение в степень по модулю происходит за полиномиальное время, то алгоритм поиска будет полиномиальным.
Приложения
Характеры Дирихле Характер Дирихле по модулю определяется обязательными соотношениями и . Чтобы эти соотношения выполнялись, необходимо, чтобы был равен какому-либо комплексному корню из единицы степени .
См. также Дискретное логарифмирование Функция Кармайкла
Примечания
Литература
Категория:Теория чисел