В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.
В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено одинаково и очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.
Особые точки векторных полей на плоскости Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:
,
где — точка на плоскости, — матрица . Очевидно, точка в случае невырожденной матрицы является единственной особой точкой такого векторного уравнения.
К этой системе также сводится однородное уравнение первого порядка , матрица которго имеет вид , притом устойчивые и неустойчивые особые точки не различают.
В зависимости от собственных значений матрицы , различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.
Тип собственных значений Собственные значения на комплексной плоскости Тип особой точки Тип фазовых траекторий Вид фазовых траекторий Чисто мнимые Центр окружности, эллипсы Комплексные с отрицательной действительной частью Устойчивый фокус Логарифмические спирали Комплексные с положительной действительной частью Неустойчивый фокус Логарифмические спирали Действительные отрицательные Устойчивый узел параболы Действительные положительные Неустойчивый узел параболы Действительные разных знаков Седло гиперболы
Примечания
См. также Теорема Пуанкаре о векторном поле
Категория:Дифференциальные уравнения Категория:Динамические системы