Полупло́скость — множество всех точек плоскости, которые находятся по одну сторону от некоторой прямой на этой плоскости, то есть по ту же сторону, что и некоторая заданная точка вне прямой. Эта прямая определяет полуплоскость и является её границей, а полуплоскость исходит из своей границы, или просто полуплоскость от границы.

В некоторых источниках граница полуплоскости ей принадлежит, то есть полуплоскость замкнута. В некоторых школьных материалах открытость или замкнутость полуплоскости может быть несущественной.

Замкнутая полуплоскость — полуплоскость со своей границей.

Полуплоскость есть выпуклая неограниченная область как одновременно открытое множество и неограниченное выпуклое множество.

Другое название замкнутой полуплоскости — односторонник, это простейший плоский выпуклый многосторонник.

Для двумерной гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского) построена модель Пуанкаре с метрикой Пуанкаре верхней полуплоскости.

Полуплоскость, обобщение полупрямой и частный случай полупространства, обладает по сравнение с ними следующей особенностью: полуплоскость может быть комплексной.

На комплексной плоскости верхняя полуплоскость имеет следующее важное свойство. Для любой точки границы единичного круга найдётся такое аналитическое отображение круга на верхнюю полуплоскость, что все преобразования с неподвижной этой точкой переходят в линейные преобразования верхней полуплоскости.

Полуплоскость также есть частный случай трубчатой области.

Определение полуплоскости

Полуплоскость  — множество всех точек плоскости, которые находятся по ту же сторону от некоторой прямой на этой плоскости, что и некоторая заданная точка вне прямой, то есть полуплоскость — это точка и множество всех точек таких, что отрезок не имеет общих точек с прямой . Прямая определяет полуплоскость и является её границей.

Замкнутая полуплоскость — полуплоскость со своей границей , .

Теорема 1. Две точки и на одной плоскости лежат в одной и той же полуплоскости, которая определяется прямой , тогда и только тогда, когда не пересекается с отрезком .

Теорема 2. Произвольная прямая на плоскости делит эту плоскость на две полуплоскости и . Более формально: на плоскости вне прямой существуют точки и , такие, что разные полуплоскости и , которым принадлежат эти точки, , , заполняют с прямой всю плоскость и имеют своими границами , то есть и .

Декартовы координаты В общем двумерном случае на плоскости с декартовыми координатами координаты точек полуплоскости отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение прямой , где  — постоянные, причём и одновременно не равны нулю.

Граница полуплоскости — прямая, определяющая полуплоскость. В определении это прямая .

Комплексные координаты На комплексной плоскости с координатами обычно рассматриваются следующие частные случаи: верхняя полуплоскость , нижняя полуплоскость , левая полуплоскость , правая полуплоскость .

Все полуплоскости, граница которых проходит через начало координат, можно представить следующей формулой: , .

Прямая и полуплоскость на комплексной плоскости Рассмотрим на комплексной плоскости произвольную прямую . Эта прямая определяется произвольной точкой и вектором направления прямой , поэтому её уравнение будет следующим:

Так как , то уравнение прямой перепишем в следующем виде:

Так как — направление прямой, положим . В этом случае пусть и рассмотрим полуплоскость , где . Теперь при имеем . Таким образом, принадлежит полуплоскости , , тогда и только тогда, когда , то есть когда . Следовательно, полуплоскость лежит слева от прямой , если «идти по в направлении ».

Таким образом, полуплоскость

есть параллельный перенос полупроскости на вектор , . Следовательно, полуплоскость лежит слева от прямой . Точно так же полуплоскость

лежит справа от прямой .

Пример. Определение касательной Рассмотрим на комплексной плоскости произвольную окружность , Возьмём на окружности произвольную точку , , и проведём через неё следующую прямую:

Прямая касается окружности в точке тогда и только тогда, когда окружность полностью, кроме точки , принадлежит одной из полуплоскостей с границей , то есть когда для произвольной точки окружности , , или , то есть , поскольку верна следующая цепочка равенств:

.

Так как , то решением неравенства будет совокупность неравенств, состоящая из двух систем неравенств: 1) , , , , , ; 2) , , откуда окончательно получаем: .

Отображения с полуплоскостью

1. Единичный круг. На комплексной плоскости единичный круг и верхняя полуплоскость дробно-линейно изоморфны, поскольку верхняя полуплоскость конформно отображается на единичный круг следующим дробно-линейным отображением:

2. Полуполоса. На комплексной плоскости с координатами однолистное и конформное преобразование отображает полуполосу на верхнюю полуплоскость. На рисунке внизу показано соответствие линий при этом преобразовании, а именно: вертикальные лучи отображаются на верхнюю полуплоскость в части гипербол с фокусами ; горизонтальные отрезки отображаются на верхнюю полуплоскость в части эллипсов с теми же фокусами .

Пересечение выпуклых фигур

Пересечение фигур — фигура, которая состоит из всех тех точек, которые принадлежат сразу всем фигурам .

Вполне возможно пересечение произвольного неограниченного количества фигур.

Теорема 1. Пересечение произвольного количества выпуклых фигур суть снова выпуклая фигура, если оно включает хотя бы одну точку).

Следующую теорему можно взять за новое определение выпуклой фигуры.

Теорема 2. Плоская фигуры выпукла тогда и только тогда, когда её можно представить как пересечение некоторого количества полуплоскостей.

Замечание. Полуплоскостями, пересечение которых представляет собой заданную выпуклую фигуру , могут быть все полуплоскости, которые содержат эту фигуру и ограничены её опорными прямыми.

Выпуклый многосторонник

Выпуклый многосторонник — фигура на плоскости, которую можно представить как пересечение конечного числа замкнутых полуплоскостей.

Простейший выпуклый многосторонник — это односторонник, то есть замкнутая полуплоскость.

Треугольник — простейший ограниченный выпуклый многосторонник; при выпуклые трёхсторонники, четырёхсторонники и так далее бывают ограниченные и неограниченные. Отрезок — пример выпуклого ограниченного четырёхсторонника.

Источники

Литература

Дополнительная литература

Категория:Геометрия Категория:Комплексный анализ Категория:Многомерный комплексный анализ Категория:Геометрические фигуры