Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера.
Определение регулярной функции Рассмотрим оператор
Функция кватернионного переменного называется регулярной, если
Гармонические функции Пусть , тогда и . Несложно проверить, что оператор имеет вид
и совпадает с оператором Лапласа в . Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в . Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции существует регулярная кватернионная функция такая, что . Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.
Некоторые применения Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх
Дифференцирование отображений Пусть — функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной в точке как такое число, что
где — бесконечно малая от , то есть .
Множество функций, которые имеют левую производную, ограничено. Например, такие функции, как
не имеют левой производной.
Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.
Нетрудно убедиться, что выражения и являются линейными функциями кватерниона . Это наблюдение является основанием для следующего определенияAleks Kleyn, eprint arXiv:1601.03259 Introduction into Calculus over Banach algebra, 2016.
Непрерывное отображение
называется дифференцируемым на множестве , если в каждой точке изменение отображения может быть представлено в виде
где
линейное отображение алгебры кватернионов и
такое непрерывное отображение, что
Линейное отображение
называется производной отображения .
Производная может быть представлена в видеВыражение не является дробью и должно восприниматься как единый символ. Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной. Значение выражения при заданном является кватернионом.
Соответственно дифференциал отображения имеет вид
Здесь предполагается суммирование по индексу . Число слагаемых зависит от выбора функции . Выражения
называются компонентами производной.
Производная удовлетворяет равенствам
Если , то производная имеет вид
Если , то производная имеет вид
и компоненты производной имеют вид
Если , то производная имеет вид
и компоненты производной имеют вид
Примечания
Литература D. B. Sweetser, Doing Physics with Quaternions A. Sudbery, Quaternionic Analysis, Department of Mathematics, University of York, 1977. В. И. Арнольд, Геометрия сферических кривых и алгебра кватернионов, УМН, 1995, 50:1(301), 3-68
См. также Комплексный анализ
Категория:Математический анализ Категория:Кватернионы