Структура Ходжа веса , или чистая структура Ходжа — объект, состоящий из решётки в действительном векторном пространстве и разложения , где , комплексного векторного пространства , которое называется разложением Ходжа. При этом должно выполняться условие , где — комплексное сопряжённое в .
Иначе, разложение Ходжа можно описать, используя понятие убывающей фильтрации, или фильтрации Ходжа, в такой, что при . Тогда подпространства восстанавливаются по формуле .
Данную структуру в пространстве -мерных когомологий компактного кэлерова многообразия впервые изучил У. ХоджHodge W. V. D. Tho theorie and applications of harmonic integrals. — 2 ed. — Cambridge, 1952..
В этом случае подпространства описываются как пространства гармонических форм типа или как когомологии пучков голоморфных дифференциальных форм.
Фильтрация Ходжа в возникает из фильтрации комплекса пучков , -мерные гиперкогомологии которого изоморфны , подкомплексами вида .
Смешанная структура Ходжа Более общим понятием является смешанная структура Ходжа — это объект, состоящий из решётки в , возрастающей фильтрации, или фильтрации весов, в и убывающей фильтрации (фильтрации Ходжа) в таких, что на пространстве фильтрации и определяют чистую структуру Ходжа веса .
П. Делинь (P. Deligne) в своей работеDeligne P. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, 1974). — 1975. — v. 1. — p. 70—85. рассмотрел смешанные структуры Ходжа в когомологиях комплексного алгебраического многообразия (не обязательно компактного или гладкого) как аналог структуры модуля Галуа в этальных когомологиях.
Структуры Ходжа имеют важные приложения в алгебраической геометрии в теории отображений периодов и в теории особенностей гладких отображенийВарченко А. Н. Современные проблемы математики. — т. 22. — М., 1983. — с. 66—130. — (Итоги науки и техники)..
Примечания
Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Кэлерова геометрия