Действие в физике — скалярная физическая величина, являющаяся мерой движения физической системы. Действие является математическим функционалом, который берёт в качестве аргумента траекторию движения физической системы и возвращает в качестве результата вещественное число.

Действие — одна из фундаментальных физических величин, входящая в современную формулировку большинства основных физических теорий во всех фундаментальных разделах физики, имеющая при этом и огромное значение в теоретической физике. Оно может иметь меньшее значение в сравнительно более прикладных областях, хотя и там нередко бывает употребительно. Используется равно и в квантовой, и в классической, и в релятивистской физике.

В классической механике принцип наименьшего действия постулирует, что физическая система всегда следует траектории с наименьшим действием.

В квантовой механике, в формулировке теории через интегралы по траекториям, физическая система одновременно следует всем возможным траекториям, причём амплитуда вероятности следования определённой траектории определяется действием этой траектории. Если характерное действие намного больше постоянной Планка, то амплитуда классической траектории с наименьшим действием является преобладающей — таким образом квантовая механика переходит в классическую.

Действие имеет физическую размерность энергия · время = импульс · расстояние, совпадающую с размерностью момента импульса. По физическому смыслу действие — фаза квантовой «волны вероятности», точнее — пропорциональна этой фазе (из-за другой размерности в традиционных системах физических единиц (в том числе СИ)):  — с постоянным размерным коэффициентом — константой Планка.

Если для какой-то системы написано действие, то это в принципе определяет и её классическое поведение (то есть поведение системы в классическом приближении), и её квантовое поведение. Первое — через принцип стационарного (наименьшего) действия, второе — через фейнмановский интеграл по траекториям. При этом само действие записывается одинаково, в одной и той же форме, и для классического, и для квантового случая, что делает его очень удобным инструментом (для квантования через фейнмановский интеграл в принципе надо знать только действие, определённое для обычных классических траекторий, то есть записанное так же, как и для классического применения).

Терминология

Исторически терминология довольно сильно колебалась, но в настоящее время принято называть действием величину

или

где:  — время,  — полный набор координат, характеризующих динамическую систему (её конфигурационное пространство),  — набор скоростей (производных по времени),  — функция Лагранжа, зависящая от координат, скоростей, и иногда ещё явно от времени, в классической механике совпадающая с разностью кинетической и потенциальной энергий;  — функция Гамильтона, представляющая собой полную энергию системы, выраженную через координат, сопряженных им импульсов и иногда ещё явно через время.

Обе величины в принципе совпадают, но по-разному выражены — первая в соответствии с лагранжевым формализмом, вторая в соответствии с гамильтоновым.

Укороченным действием принято называть

где обозначения совпадают с использованными выше, а выражение в последнем интеграле — скалярное произведение векторов импульса и скорости, которое в случае одной частицы можно рассматривать в обычном ньютоновском смысле.

Вообще в этом разделе под и имеются в виду обобщённые координаты (не обязательно совпадающие с декартовыми), соответствующие этим координатам обобщённые скорости и канонически сопряженные этим координатам импульсы. В частном случае они могут быть выбраны в виде декартовых координат, тогда (в механике) соответствующие импульсы представляют собой обычные компоненты векторных импульсов материальных точек системы.

Для распределённых систем (например, для полей или упругих сплошных сред) действие обычно может быть записано так:

или

где  — плотности функции Лагранжа и Гамильтона соответственно,  — точка пространства, занятого средой или полем (часто — обычного трёхмерного пространства),  — элемент объёма этого пространства,  — значения обобщённых координат (например, смещений упругой среды или — для поля — полевой переменной, такой, как, например, электромагнитный потенциал) и обобщённых импульсов для данной точки распределённой системы (среды или поля).

Интегрирование производится и по пространству и по времени. Общее количество координат и импульсов , описывающих систему, как видим, в этом случае бесконечно, так как конечно их количество лишь для одного , а множество самих бесконечно.

Общий обзор

С современной точки зрения действие имеет смысл фазы волновой функции (правда, выраженной традиционно — для более прямой связи с классической механикой — в других единицах, а конкретно , где  — действие,  — фаза в радианах, а  — универсальная постоянная Планка).

Классическая физика (механика и теория поля) является высокочастотным и коротковолновым приближением квантовой, когда фазы волн очень велики (), что означает, что при данных («классических») условиях эксперимента (характерные размеры, характерные импульсы и характерные энергии рассматриваемой задачи) квантовые поправки к классической теории будут достаточно малы (на практике чаще всего настолько малы, что экспериментально не обнаружимы). В этом случае квантовая задача в целом сильно упрощается, переходя в классическую, и можно пользоваться принципом наименьшего действия и/или уравнением Гамильтона — Якоби, в которых действие продолжает играть ключевую роль.

В квантовой же физике — при решении той же задачи без условия  — действие играет особенно большую роль в формализме фейнмановского интеграла по траекториям. Кроме того, часть результатов теории классического поля достаточно прямо переносится в определённом смысле на квантовый случай, а поскольку действие является одним из простейших объектов, манипуляции с ним (а прежде всего само написание действия для данной динамической системы — по́ля, частицы, взаимодействующих полей или частиц, или других объектов) часто являются одним из эффективнейших инструментов при формулировке квантовой теории различных полей, даже если это не связано с написанием интеграла по траекториям и работы с ним в явном виде.

История

Мопертюи в работах 1740(?), 1741—1746 гг. впервые сформулировал принцип наименьшего действия для механики и высказал мысль о том, что это универсальный закон природы, проинтерпретировав и оптику (принцип Ферма) в терминах действия (он использовал то, что сейчас принято называть укороченным действием). Мопертюи был склонен к теологической интерпретации этого принципа, свидетельствовавшего, по его мнению, об определённом совершенстве сотворённого Богом мира.

Ещё при жизни Мопертюи эти его работы были поддержаны и развиты Эйлером, к тому же разработавшим вариационное исчисление, позволявшее наиболее эффективно реализовать преимущества принципа.

Затем Лагранж в «Аналитической механике» («Mécanique analytique»), опубликованной в 1788 году, развил применение принципа наименьшего действия в механике, использовав вариационное исчисление и введя обобщённые координаты. Также он изложил в 1795 г. метод неопределенных множителей, позволяющий значительно улучшить использование принципа наименьшего действия в задачах со связями.

Действие для быстро движущейся («релятивистской») частицы было исправлено (по сравнению со старым ньютоново—лагранжевым вариантом, область применимости которого — движения, медленные по сравнению со скоростью света) в начале XX века, впервые это сделано явно, по-видимому, Планком в 1907 годуДоклад на заседании Немецкого физического общества 23 марта 1906 г. Verh. d. Deutsch. Phys., b. 4, s. 136. — перевод с немецкого — см. «Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности». — М.: Атомиздат, 1973. — С. 163., также в связи с этим можно упомянуть работы Минковского (1907) и Борна (1909). Оно приняло для свободной точечной частицы вид интервала (длины — собственного времени — в пространстве-времени Минковского) вдоль мировой линии (пространственно-временной траектории) частицы с обратным знаком, заменив обычное ньютоновское выражение в механике быстрых частиц. Поэтому принцип наименьшего действия для релятивистских частиц приводит к максимально возможному собственному времени вдоль траектории.

В 1915 Гильберт, использовав вариационный метод по отношению к , получил верные уравнения гравитационного поля в общей теории относительности. При этом, пожалуй, впервые было в такой полноте использовано преимущество простоты подхода, исходящего из написания из общих соображений скалярного (инвариантного) действия (явный вид которого заранее не известен), а затем — получения уравнений движения для поля (уравнений поля) варьированием этого функционала.

В начале XX века Планк, Бор, Зоммерфельд, Шварцшильд и другие использовали действие (обычно укороченное действие) для ранней формулировки квантовой теории, являющейся с современной точки зрения неким вариантом квазиклассического приближения, оказавшейся довольно хорошо подходящей для описания таких ключевых задач, как гармонический осциллятор и атом с круговыми и эллиптическими орбитами электрона (по крайней мере, это касается простейшего случая — атома водорода). Правило квантования, широко использовавшееся на данном этапе развития квантовой теории, сводилось к квантованию укороченного действия на замкнутых орбитах в соответствии с условием или (в декартовых координатах для одной частицы): .

Луи де Бройль (1923—1924 гг.) использовал такой формализм для формулировки своих утверждений о волновой природе электрона и вообще материальных частиц.

Заметную роль в обосновании современной формы квантовой механики (в смысле выяснения её соотношения с классической) сыграло имеющее дело с действием как функцией координат и времени уравнение Гамильтона — Якоби, уже имеющее форму, близкую к форме основного уравнения квантовой механики — уравнения Шрёдингера — и являющегося при этом по сути его классическим пределом.

Фейнман разработал в квантовой механике метод интегрирования по траекториям (1938 год), переформулировавший квантовую механику так, что в ней органически использовался классический функционал действия, а отличие полного квантового описания от классического сводилось к необходимости суммировать величину по всем мыслимым траекториям (а не только по одной классической траектории или по близким к ней). Этот формализм является одним из наиболее популярных в современной теоретической физике высоких энергий, находя приложения (вместе с техникой диаграмм Фейнмана) и в других областях физики, а также в чистой математике. Впоследствии (1949 год) Фейнман разработал тесно связанный с интегрированием по траекториям, хотя и допускающий переформулировку, не использующую явно этого подхода, метод диаграмм Фейнмана, который стал одним из основных в квантовой теории поля и обеспечил один из путей преодоления трудностей квантовой электродинамики, которая в результате стала одной из наиболее точных физических теорий и стандартным образцом при построении других квантовополевых теорий.

Начиная со второй половины XX века был изобретен ряд обобщений действия для точечной частицы, например, в области теории струн — (действие-площадь) и .

В заключение следует сказать, что в современных абстрактных областях теоретической физики действие является одним из основных инструментов формулировки конкретной теории уже с начального этапа. Например, один из очень распространенных способов формулировки новой теории сводится к тому, что для исследуемой системы в первую очередь стараются написать действие, ограничивая возможные варианты наложением условий симметрии, и часто — ещё соображениями простоты.

Действие в классической механике

Действие в классической механике записывается в двух формах, в конечном итоге эквивалентных:

лагранжевой:

или гамильтоновой:

(об укороченном действии — см. в параграфе «Терминология» выше).