Преде́л в теории категорий — понятие, обобщающее свойства таких конструкций, как произведение, декартов квадрат и обратный предел. Двойственное понятие копредела обобщает свойства таких конструкций, как дизъюнктное объединение, копроизведение, кодекартов квадрат и прямой предел.

Пределы и копределы, как и тесно связанные с ними понятия универсального свойства и сопряжённых функторов являются понятиями высокого уровня абстракции. Чтобы лучше их понять, полезно сначала изучить примеры конструкций, которые эти понятия обобщают.

Определение Пределы и копределы определяются при помощи диаграмм. Диаграмма типа в категории  — это функтор: .

Категория является индексирующей категорией и функтор играет роль разметки объектов и морфизмов категории в терминах категории . Наибольший интерес представляет случай, когда  — малая или конечная категория. В этом случае диаграмма называется малой или конечной.

Пусть  — диаграмма типа в категории . над  — это такой объект в вместе с семейством морфизмов , индексированных объектами из категории , такой что для любого морфизма верно, что .

Предел диаграммы  — это конус над такой, что для любого конуса над существует единственный морфизм , такой что для всех в .

Аналогичным образом определяется понятие копредела — нужно обратить все стрелки. А именно:

Коконус диаграммы  — это объект категории вместе с семейством морфизмов:

для каждого в , такой, что для любого морфизма верно .

Копредел диаграммы  — это коконус такой, что для любого другого коконуса существует единственный морфизм , такой, что для всех в .

Как и любые универсальные объекты, пределы и копределы не всегда существуют, но если существуют, то определены с точностью до изоморфизма.

Примеры пределов Определение категорного предела достаточно широкое, чтобы обобщить иные часто используемые категорные конструкции. В примерах рассматривается предел диаграммы . Терминальные объекты. Если  — пустая категория, в существует только одна диаграмма типа  — пустая. Конус над пустой диаграммой это просто любой объект категории . Предел над  — это любой такой объект, в который существует единственный морфизм из любого объекта, то есть терминальный объект. Произведения. Здесь  — дискретная категория (без нетождественных морфизмов), а диаграмма определенная функтором  — семейство объектов проиндексированных и предел — это их произведение вместе с проекциями на сомножители, проекции образуют семейство морфизмов из определения конуса. Уравнитель. Здесь  — категория из двух объектов и двух параллельных морфизмов, тогда  — два параллельных морфизма и предел — это их уравнитель. Ядро — это частный случай уравнителя, где один из морфизмов нулевой. Декартов квадрат. Здесь состоит из трёх объектов и морфизмов из первого и второго объекта в третий. Если  — категория из одного элемента и тождественного морфизма, то предел — это тот элемент, в который отобразилась . Топологические пределы. Пределы функций — частный случай пределов фильтров, которые связаны с категорными пределами следующим образом. В данном топологическом пространстве рассмотрим  — множество фильтров на , точку  — фильтр окрестностей  — некоторый конкретный фильтр и  — множество фильтров тоньше и сходящихся к . На фильтрах можно задать структуру категории, сказав, что стрелка существует тогда и только тогда, когда . Вложение становится функтором и выполняется следующее утверждение:  — топологический предел тогда и только тогда, когда  — категорный предел .

Свойства

Существование Говорят, что категория имеет пределы типа , если любая диаграмма типа имеет предел.

Категория называется полной, если она имеет предел для любой малой диаграммы (то есть диаграммы, элементы которой образуют множество). Аналогично определяются конечно полные и кополные категории.

Универсальное свойство Рассмотрим категорию с диаграммой . Категорию функторов можно считать категорией диаграмм типа в . Диагональный функтор  — это функтор, отображающий элемент категории в постоянный функтор , отображающий всё в .

Для данной диаграммы (понимаемой как объект ), естественное преобразование (понимаемое как морфизм категории ) — то же самое, что конус из в . Компоненты  — морфизмы . Определения предела и копредела можно переписать как: Предел  — универсальная стрелка из в . Копредел  — универсальная стрелка из в .

Функторы и пределы Функтор индуцирует отображение из в . сохраняет пределы в , если  — предел , когда  — предел . Функтор сохраняет все пределы типа , если он сохраняет пределы всех диаграмм . Например, можно говорить, что сохраняет произведения, уравнители и т. д. Непрерывный функтор — это функтор, сохраняющий все малые пределы. Аналогичные определения вводятся для копределов.

Важное свойство сопряжённых функторов — то, что каждый правый сопряженный функтор непрерывен и каждый левый сопряженный функтор конепрерывен.

Функтор поднимает пределы для диаграммы если из того, что  — предел следует, что существует предел в , такой что . Функтор поднимает пределы типа , если он поднимает пределы для всех диаграмм типа . Существуют двойственные определения для копределов.

Примечания

Литература

Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free online edition).

Категория:Теория категорий Категория:Пределы (теория категорий)