-кобордизмИспользование термина «кобордизм» вызвано историческими причинами, в современной литературе используется термин «бордизм». — бордизм , где — компактное дифференцируемое многообразие, край которого — объединение непересекающихся замкнутых многообразий и , являющихся деформационными ретрактами . Простейший пример — тривиальный -кобордизм .
Многообразия и называются -кобордантными, если существует -кобордизм соединяющий их.
Теорема об -кобордизме: если — -кобордизм, где и — односвязные гладкие (или кусочно линейные) многообразия и , то диффеоморфно (кусочно линейно изоморфно) тривиальному -кобордизму. В частности, диффеоморфно . Результат получен Стивеном Смейлом, который использовал его в доказательстве обобщённой гипотезы Пуанкаре в размерностях, бо́льших четырёх.
Если убрать условие односвязности кобордантных многообразий и , то препятствием к тривиальности кобордизма между ними является . Теорема об -кобордизме гласит, что кобордизм между двумя многообразиями является тривиальным тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда обнуляется.
Примечания
Литература
Категория:Дифференциальная геометрия и топология