Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.
Если в дифференциальном уравнении Бесселя
заменить на , оно примет вид
Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя .
Если не является целым числом, то функции Бесселя и являются двумя линейно независимыми решениями уравнения . Однако чаще используют функции
и
Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если — вещественное число, а z неотрицательно, то эти функции принимают вещественные значения.
называется порядком функции.
Функция
также является решением уравнения . Её называют модифицированной функцией Бесселя второго рода или функцией Макдональда . Очевидно, что
и принимает вещественные значения, если — вещественное число, а положительно.
Функции целого порядка Так как при целом в качестве фундаментальной системы решений уравнения выбирают и где
Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования
Модифицированные функции Бесселя первого рода
Модифицированные функции Бесселя второго рода
Вронскиан системы модифицированных функций Бесселя
Интегральные представления
Модифицированные функции Бесселя первого рода — гамма-функция.
Модифицированные функции Бесселя второго рода
Асимптотическое поведение
Частный и общий случаи:
Замечание Существует классический ряд Шлёмильха по j-функциям Бесселя Ляхов Л.Н. О j-рядах Шлемильха. Научные ведомости. Серия "Математика. Физика". 2013. №12 (155). Вып. 31.// https://cyberleninka.ru/article/n/o-j-ryadah-shlemilha Дж.Н. Ватсон. Теория бесселевых функций. (Книга). Глава XIX. Ряды Шлемильха
См. также Цилиндрические функции
Литература Ватсон Г. Теория бесселевых функций. Т. 1, 2. — М.: ИЛ, 1949. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены: Справочная математическая библиотека. — М.: Физматгиз, 1966. — 296 с.
Примечания
Ссылки
Категория:Цилиндрические функции