Ква́нтор — общее название для логических операторов, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих высказывание. Чаще всего упоминают: Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для любого…», «для каждого…», «для всех…» или «каждый…», «любой…», «все…»). Квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»). Квантор единственности (обозначение: !, читается: «…является единственным»).
В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием.
В многозначных логиках также вводятся и другие кванторы, например: Квантор плюральности (квантор Решера) (обозначается перевёрнутой M, читается «для большинства …»).
Примеры Обозначим предикат «x делится на 9 без остатка». Используя квантор всеобщности, можно формально записать следующие высказывания (ложные): любое натуральное число кратно 9; каждое натуральное число кратно 9; все натуральные числа кратны 9; следующим образом: . Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования: существуют натуральные числа, кратные 9; найдётся натуральное число, кратное 9; хотя бы одно натуральное число кратно 9. Их формальная запись: .
Введение в понятие Пусть на множестве простых чисел задан предикат : «Простое число нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 — простое чётное число).
Подставив перед данным предикатом слово «существует», получим истинное высказывание «Существует простое число , являющееся нечётным» (например, ).
Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова («все», «существует» и другие), называемые в логике кванторами.
Кванторы в математической логике Высказывание означает, что область значений переменной включена в область истинности предиката . («При всех значениях утверждение верно»).
Высказывание означает, что область истинности предиката не пуста. («Существует , при котором утверждение верно»).
Свободные и связанные переменные Множество свободных переменных* формулы F определяется рекурсивно, следующим образом:
Свободные переменные.
Все переменные, входящие в атомарную формулу, являются свободными переменными этой формулы, свободные переменные формулы F являются свободными переменными формулы ¬F, переменные, являющиеся свободными для хотя бы одной из формул F или G, являются свободными переменными формулы (F Д G), все свободные переменные формулы F кроме v являются свободными переменными формулы Kv F.
Замкнутая формула.
Формула без свободных переменных называется замкнутой формулой, или предложением.
Связанная переменная.
Переменная v связана в формуле F, если F содержит вхождение Kv, где K — квантор.
Связанное переименование, свободное переименование
Операции над кванторами Правило отрицания кванторов — применяется для построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы, и имеет вид:
(Общее правило можно сформулировать так: если перед квантором появляется знак отрицания, то квантор перебрасывает его через себя, а сам меняется на другой)
Стоит отметить, что данное правило применимо только в классической логике, в интуиционистской логике правые части равенств влекут левые, но не наоборот.
История появления
Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Так, Томас Гоббс считал, что они являются частями имён«Но слова: всякое, любое, некоторое и т. д., указывающие на всеобщее или частное значение других слов, являются не именами, а только частями имен». (Томас Гоббс «О теле»).
Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 году, в книге Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения для квантора существования (перевёрнутая первая буква — существует), предложенное Чарльзом Пирсом в 1885 году, и для квантора общности ( — «все», «всякий»), образованное Герхардом Генценом в 1935 году по аналогии с символом квантора существования. Термины «квантор», «квантификация» также предложил Пирс.
Примечания
Литература Клини С. К. Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72—80, 130—138 Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. — М.: КомКнига, 2006. — 240 с. Новиков П. С. Элементы математической логики. — М.: Наука, 1973. — 400 с. Чёрч А. Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42—48.
Ссылки Кванторы
Категория:Математическая логика Категория:Логические операции