Гиперболическая группа — конечно-порождённая группа, граф Кэли которой, как метрическое пространство, является гиперболическим по Громову.

Определение На конечно-порождённой группе с выбранными образующими есть естественная метрика — словарная. Группа называется гиперболической, если, снабжённая этой метрикой, она оказывается гиперболической как метрическое пространство. Поскольку при замене выбранной системы образующих метрика меняется квазиизометрично, а гиперболичность метрического пространства при этом сохраняется — понятие оказывается не зависящим от выбора системы образующих.

Примеры Поскольку гиперболичность это, в определённом смысле, «сходство» свойств метрического пространства с деревом — свободная группа (граф Кэли которой является деревом) с любым конечным числом образующих гиперболична. Группа PSL(2,Z) гиперболична. Конечная группа гиперболична. Не примеры: Свободная абелева группа с двумя образующими не является гиперболической. Более того, любая группа содержащая подгруппу изоморфную не гиперболична. Группа Баумслага — Солитера B(m,n), а также любая группа содержащая B(m,n) как подгруппу, не гиперболична.

Свойства Гиперболичность сохраняется при переходе к подгруппе конечного индекса. Любая гиперболическая группа является конечно-представленной: задаётся конечным числом образующих и конечным числом соотношений. (Как следствие, гиперболических групп — в отличие от всех групп вообще — лишь счётное число.) Гиперболичность равносильна линейному изопериметрическому неравенству: тривиальное слово, записанное как произведение N образующих, представляется как произведение CN сопряжённых к базисным соотношениям (с определённым контролем на длину сопрягающих произведений).

Примечания

Литература П. де ля Арп, Э. Гис, Гиперболические группы по Михаилу Громову

Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987. Rips, E. Sela, Z. Canonical representatives and equations in hyperbolic groups. Invent. Math. 120 (1995), no. 3, 489—512.

Категория:Геометрическая теория групп