Кодекартов квадрат (также — универсальный квадрат) — теоретико-категорное понятие, двойственное понятию декартова квадрата. Кодекартов квадрат является частным случаем копредела.
Универсальное свойство
Пусть — морфизмы в категории . Кодекартов квадрат для пары морфизмов — это коммутативный квадрат вида , который удовлетворяет универсальному свойству, то есть для любого объекта с морфизмами , дополняющими до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм , делающий следующую диаграмму коммутативной:
Объект с морфизмами называется расслоенным копроизведением (расслоенной суммой, амальгамой, амальгамированной суммой, ).
Как и любые универсальные конструкции, кодекартов квадрат не обязательно существует, но если существует, то определён с точностью до изоморфизма.
Примеры В категории множеств — это дизъюнктное объединение и , в котором отождествлены элементы с общим прообразом в . Более точно, где — наименьшее отношение эквивалентности, такое что .
Конструкция является примером построения расслоенных копроизведений в категории топологических пространств. Более подробно, если — подпространство и — соответствующее , то можно «склеить» с по , используя «отображение соответствия» . Получившееся в результате склеенное пространство является расслоенным копроизведением и .
В категории абелевых групп о кодекартовом квадрате можно говорить как о прямой сумме абелевых групп «со склейкой». А именно, если и — гомоморфизмы с общим источником , кодекартов квадрат является факторгруппой прямой суммы по подгруппе, порождённой всеми элементами вида . Примерно то же самое можно проделать в категории модулей.
Литература
Категория:Теория категорий Категория:Пределы (теория категорий)