Длинная линия — модель линии передачи, продольный размер (длина) которой превышает длину волны, распространяющейся в ней (либо сравнима с длиной волны), а поперечные размеры (например, расстояние между проводниками, образующими линию) значительно меньше длины волны.
С точки зрения теории электрических цепей длинная линия относится к четырёхполюсникам. Характерной особенностью длинной линии является проявление интерференции двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Одна из этих волн создается подключенным ко входу линии генератором электромагнитных колебаний и называется падающей. Другая волна называется отражённой и возникает из-за частичного отражения падающей волны от нагрузки, подключенной к выходу (противоположному генератору концу) линии. Всё разнообразие колебательных и волновых процессов, происходящих в длинной линии, определяется соотношениями амплитуд и фаз падающей и отраженной волн. Анализ процессов упрощается, если длинная линия является регулярной, то есть такой, у которой в продольном направлении неизменны поперечное сечение и электромагнитные свойства (εr, μr, σ) заполняющих средГОСТ 18238-72. Линии передачи сверхвысоких частот. Термины и определения..
Дифференциальные уравнения длинной линии
Первичные параметры Из электродинамики известно, что линия передачи может быть охарактеризована её погонными параметрами: R1 — погонное сопротивление металла проводов, Ом/м; G1 — паразитная, параллельная(источник термина ) погонная(продольная, аддитивная) проводимость диэлектрика линии,1/Ом·м или См/м; ,- погонная вдоль линии, ортогонально токам утечки через диэлектрик, в противовес g[Cм·м] - проводимости погонной,приведённой к единице длины паразитного тока, текущего через диэлектрик линии(поперечно-погонной проводимости изолятора линии)! L1 — погонная индуктивность Гн/м; C1 — погонная ёмкость Ф/м;
Погонные сопротивление и проводимость G1 зависят от проводимости материала проводов и качества диэлектрика, окружающего эти провода, соответственно. Согласно закону Джоуля — Ленца, чем меньше тепловые потери в металле проводов и в диэлектрике, тем меньше погонное сопротивление металла R1 и меньше погонная проводимость диэлектрика G1. (Уменьшение активных потерь в диэлектрике означает увеличение его сопротивления, так как активные потери в диэлектрике — это токи утечки. Для модели используется обратная величина — погонная проводимость G1.)
Погонные индуктивность L1 и ёмкость C1 определяются формой и размерами поперечного сечения проводов, а также расстоянием между ними.
А и — погонные комплексные сопротивление и проводимость линии, зависящие от частоты .
Выделим из линии элементарный участок бесконечно малой длины dz и рассмотрим его эквивалентную схему.
Эквивалентная схема участка длинной линии
Значения параметров схемы определяются соотношениями:
(1)
Используя эквивалентную схему, запишем выражения для приращений напряжения и тока:
Подставляя сюда значения параметров схемы из (1), получаем:
Из последних соотношений находим дифференциальные уравнения линии. Эти уравнения определяют связь между током и напряжением в любом сечении линии и называются телеграфными уравнениями длинной линии:
Телеграфные уравнения
(2)
Следствия Решим телеграфные уравнения относительно напряжения и тока. Для этого продифференцируем их по z:
(3)
При этом учтем условие регулярности линии:
Условие регулярности линии
(4)
Данные соотношения являются математическим определением регулярности длинной линии. Смысл соотношения (4) состоит в неизменности вдоль линии её погонных параметров.
Подставляя в (3) значения производных напряжения и тока из (2), после преобразований получаем:
Однородные волновые уравнения длинной линии
, (5)
где — коэффициент распространения волны в линии.
Соотношения (5) называются однородными волновыми уравнениями длинной линии. Их решения известны и могут быть записаны в виде:
, (6)
где AU, BU и AI, BI — коэффициенты, имеющие единицы измерения напряжения и тока соответственно, смысл которых будет ясен ниже.
Решения волновых уравнений в виде (6) имеют весьма характерный вид: первое слагаемое в этих решениях представляет собой отраженную волну напряжения или тока, распространяющуюся от нагрузки к генератору, второе слагаемое — падающую волну, распространяющуюся от генератора к нагрузке. Таким образом, коэффициенты AU, AI представляют собой комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно, а коэффициенты BU, BI — комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока соответственно. Так как часть мощности, передаваемой по линии, может поглощаться в нагрузке, то амплитуды отраженных волн не должны превышать амплитуды падающих:
Направление распространения волн в (6) определяется знаком в показателях степени экспонент: плюс — волна распространяется в отрицательном направлении оси z; минус — в положительном направлении оси z (см. рис. 1). Так, например, для падающих волн напряжения и тока можно записать:
, (7)
Коэффициент распространения волны в линии γ в общем случае является комплексной величиной и может быть представлен в виде:
, (8)
где α — коэффициент затухания волныКоэффициент затухания α определяет скорость уменьшения амплитуды волны при распространении вдоль линии. в линии; β — коэффициент фазыКоэффициент фазы β определяет скорость изменения фазы волны вдоль линии.. Тогда соотношение (7) можно переписать в виде:
. (9)
Так как при распространении падающей волны на длину волны в линии λЛ фаза волны изменяется на 2π, то коэффициент фазы можно связать с длиной волны λЛ соотношением
. (10)
При этом фазовая скорость волны в линии VФ определяется через коэффициент фазы:
. (11)
Определим коэффициенты A и B, входящие в решения (6) волновых уравнений, через значения напряжения UН и тока IН на нагрузке. Это является оправданным, так как напряжение и ток на нагрузке практически всегда можно измерить с помощью измерительных приборов. Воспользуемся первым из телеграфных уравнений (2) и подставим в него напряжение и ток из (6). Тогда получим:
Сравнив коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями степеней, получим:
, (12)
где — волновое сопротивление линииВолновым сопротивлением линии передачи называется отношение напряжения к току в бегущей волне..
Перепишем (6) с учётом (12):
. (13)
Для определения коэффициентов A и B в этих уравнениях воспользуемся условиями в начале линии z = 0: .
Тогда из (13) при z = 0 найдем
, (14)
Подставив полученные значения коэффициентов из (14) в (13), после преобразований получим:
. (15)
При выводе (15) учтены определения гиперболических синуса и косинусаГиперболические функции.
Соотношения для напряжения и тока (15) так же, как и (6), являются решениями однородных волновых уравнений. Их отличие состоит в том, что напряжение и ток в линии в соотношении (6) определены через амплитуды падающей и отраженной волн, а в (15) — через напряжение и ток на нагрузке.
Рассмотрим простейший случай, когда напряжение и ток в линии определяются только падающей волной, а отраженная волна отсутствуетТакая линия называется полностью согласованной.. Тогда в (6) следует положить BU = 0, BI = 0: .
Распределение поля падающей волны
На рис.3. представлены эпюры изменения амплитуды |U| и фазы φU напряжения вдоль линии. Эпюры изменения амплитуды и фазы тока имеют такой же вид. Из рассмотрения эпюр следует, что при отсутствии в линии потерь (α = 0) амплитуда напряжения в любом сечении линии остается одной и той же. При наличии потерь в линии (α > 0) часть переносимой мощности преобразуется в тепло (нагревание проводов линии и окружающего их диэлектрика). По этой причине амплитуда напряжения падающей волны экспоненциально убывает в направлении распространения.
Фаза напряжения падающей волны φU = β z изменяется по линейному закону и уменьшается по мере удаления от генератора.
Рассмотрим изменение амплитуды и фазы, например, напряжения при наличии падающей и отраженной волн. Для упрощения положим, что потери в линии отсутствуют, то есть α = 0. Тогда напряжение в линии можно представить в виде: , (16)
где — комплексный коэффициент отражения по напряжению.
Комплексный коэффициент отражения по напряжению Характеризует степень согласования линии передачи с нагрузкой. Модуль коэффициента отражения изменяется в пределах: | Г | = 0, если отражения от нагрузки отсутствуют и BU = 0; | Г | = 1, если волна полностью отражается от нагрузки, то есть ;
Соотношение (16) представляет собой сумму падающей и отраженной волн. Отобразим напряжение на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы, каждый из векторов которой определяет падающую, отраженную волны и результирующее напряжение (рис. 4). Из диаграммы видно, что существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в фазе. Напряжение в этих сечениях достигает максимума, величина которого равна сумме амплитуд падающей и отраженной волн: . Кроме того, существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в противофазе. При этом напряжение достигает минимума: . Если линия нагружена на сопротивление, для которого |Г| = 1, то есть амплитуда падающей и отраженной волн равны |BU| = |AU|, то в этом случае Umax = 2|AU|, а Umin = 0. Напряжение в такой линии изменяется от нуля до удвоенной амплитуды падающей волны. На рис. 5 представлены эпюры изменения амплитуды и фазы напряжения вдоль линии при наличии отраженной волны.
Коэффициенты бегущей и стоячей волны По эпюре напряжения судят о степени согласования линии с нагрузкой. Для этого вводятся понятия коэффициента бегущей волны — kБВ и коэффициента стоячей волны kСВ:
(17)
(18)
Эти коэффициенты, судя по определению, изменяются в пределах:
, .
На практике наиболее часто используется понятие коэффициента стоячей волны, так как современные измерительные приборы (панорамные измерители kСВ) на индикаторных устройствах отображают изменение именно этой величины в определенной полосе частот.
Входное сопротивление длинной линии Входное сопротивление линии является важной характеристикой, которое определяется в каждом сечении линии как отношение напряжения к току в этом сечении:
(19)
Так как напряжение и ток в линии изменяются от сечения к сечению, то и входное сопротивление линии изменяется относительно её продольной координаты z. При этом говорят о трансформирующих свойствах линии, а саму линию рассматривают как трансформатор сопротивлений. Подробнее свойство линии трансформировать сопротивления будет рассмотрено ниже.
Режимы работы длинной линии Различают три режима работы линии: режим бегущей волны;Не реализуемо на практике. Является лишь математической абстракцией Возможно лишь приближение в той, или иной степени. режим стоячей волны; режим смешанных волн.
Режим бегущей волны Режим бегущей волны характеризуется наличием только падающей волны, распространяющейся от генератора к нагрузке. Отраженная волна отсутствует. Мощность, переносимая падающей волной, полностью выделяется в нагрузке. В этом режиме BU = 0, | Г | = 0, kсв = kбв = 1.
Режим стоячей волны Режим стоячей волны характеризуется тем, что амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей BU = AU то есть энергия падающей волны полностью отражается от нагрузки и возвращается обратно в генератор. В этом режиме, | Г | = 1, kсв = , kбв = 0.
Режим смешанных волн В режиме смешанных волн амплитуда отраженной волны удовлетворяет условию 0 < BU < AU то есть часть мощности падающей волны теряется в нагрузке, а остальная часть в виде отраженной волны возвращается обратно в генератор. При этом 0 < | Г | < 1, 1 < kсв < , 0 < kбв < 1
Линия без потерь В линии без потерь погонные параметры R1 = 0 и G1 = 0. Поэтому для коэффициента распространения γ и волнового сопротивления W получим:
. (20)
С учётом этого выражения для напряжения и тока (15) примут вид:
(21)
При выводе этих соотношений учтены особенности, гиперболических функций.