Метод Шту́рма (реже встречается название «метод шту́рма» (со строчной буквы)) — метод доказательства неравенств нескольких положительных действительных переменных, связывающий сумму и произведение двух переменных с помощью приближения исследуемой функции к её экстремальному значению путём организованного изменения значений этих переменных. Часто используется в задачах математических олимпиад для школьников (на IMOIMO 1984, задача 1 — один из первых примеров применения метода Штурма на олимпиадах, реже на ВсОШ), но почти не имеет применения в современной науке.
Назван в честь немецкого математика , впервые предложившего этот метод. В русскоязычной среде иногда встречается написание «метод штурма» (со строчной буквы) в связи со схожестью фамилии математика со словом «штурм».
Формулировка Пару чисел назовём сближением пары чисел , если выполнено неравенство: . Если при этом , то сближение называется сближение с сохранением суммы, если , тогда это называется сближением с сохранением произведения. Тогда при сближении двух положительных переменных с сохранением их суммы их произведение увеличивается, а при сближении двух положительных переменных с сохранением их произведения их сумма уменьшается.
Доказательство Если сближение просиходит с сохранением суммы, то
.
Таким образом, произведение действительно увеличивается.
Если сближение происходит с сохранением произведения, то .
Таким образом, сумма действительно уменьшается.
Примечания
Категория:Практики, основанные на доказательствах Категория:Неравенства