Теорема Александрова о развёртке — теорема о существовании и единственности замкнутого выпуклого многогранника с данной развёрткой, доказанная Александром Даниловичем Александровым.А. Д. Александров, Выпуклые многогранники. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. Единственность в этой теореме является обобщением теоремы Коши о многогранниках и имеет схожее доказательство.
Обобщение этой теоремы на произвольные метрики на сфере сыграло ключевую роль в становлении и развитии Александровской геометрии. Другое доказательство, основанное на деформации трёхмерного многогранного пространства, было предложено Ю. А. Волковым в его кандидатской диссертации 1955 года.
Формулировка Многогранная метрика на сфере изометрична поверхности выпуклого многогранника тогда и только тогда, когда сумма углов при любой её вершине не превосходит . Более того, многогранник определяется метрикой на своей поверхности с точностью до конгруэнтности.
При этом допускается, что многогранник вырождается в плоский многоугольник, в этом случае поверхность многогранника определяется как удвоение многоугольника в его границе, то есть две копии многоугольника склеенные по соответствующим точкам границы.
Замечания
В оригинальной формулировке Александров пользуется понятием развёртки многогранника на плоскости, то есть набора плоских многоугольников и правил склейки этих многоугольников в многогранную метрику. Одну из таких развёрток можно получить из набора всех граней многогранника с естественным правилом склейки. Однако в общем случае многоугольники развёртки могут перекрываться с несколькими гранями; смотри рисунок.
Вариации и обобщения
(Теорема Александрова) Внутренняя метрика на сфере изометрична поверхности выпуклого тела тогда и только тогда, когда она имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. При этом допускается, что тело вырождается в плоскую фигуру, в этом случае поверхность фигуры определяется как её удвоение. (Теорема Погорелова) Более того, выпуклое тело определяется однозначно с точностью до конгруэнтности.А. В. Погорелов. Однозначная определённость общих выпуклых поверхностей. Монографии института математики, вып. II. 1952. (Теорема Оловянишникова) Полная метрика на плоскости изометрична поверхности выпуклого множества только тогда, когда она имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. Более того конус на бесконечности можно задать произвольно при условии, что его граница изометрична конусу на бесконечности .
См. также
Теорема монотонности Александрова
Примечания
Литература
Категория:Теоремы о многогранниках Категория:Александровская геометрия