В математике строго нормированные пространства — это важный подкласс нормированных пространств, по своей структуре близких к гильбертовым. Для таких пространств решён вопрос единственности аппроксимаций, и это свойство находит широкое применение в вопросах вычислительной математики и математической физике. Кроме того, в строго нормированном пространстве отрезок соединяющий две точки произвольной сферы, будет целиком лежать строго внутри (за исключением граничных точек) открытого шара, ограниченного данной сферой.
Нормированное пространство X называют строго нормированным (или строго выпуклым), если для произвольных , удовлетворяющих условию , найдётся такое , что .
Свойства строго нормированных пространств Пусть X — строго нормированное пространство, а L — линейное подпространство. Тогда для найдется не более одного элемента такого, что . Элемент называют элементом наилучшего приближения x элементами из L. Существование элемента наилучшего приближения обеспечивает следующая теорема.
Теорема. Пусть X — нормированное пространство, а L — конечномерное линейное подпространство. Тогда для существует элемент наилучшего приближения .
При этом в нормированном, но не строго нормированном пространстве, элемент наилучшего приближения, вообще говоря, не единственен.
Каждый шар строго нормированного пространства — строго выпуклое множество. Верно и обратное, если в нормированном пространстве каждый шар — строго выпуклое множество, то данное пространство является строго нормированным. Нормированное пространство X является строго нормированным тогда и только тогда, когда из условия всегда следует что .
Примеры строго нормированных пространств с нормой . Однако нормы и на , эквивалентные норме не порождают строго нормированное пространство (см. рисунок). , где . Этот факт следует из неравенства Юнга, которое используется при выводе неравенств Гёльдера и Минковского. Гильбертовы пространства
Литература
Категория:Функциональный анализ Категория:Выпуклый анализ