Скалярная кривизна — два из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором. Обычно обозначается или .
Определение Скалярную кривизну можно определить как след тензора Риччи или как удвоенный след оператора кривизны.
Пользуясь соглашением Эйнштейна, это можно записать через компоненты метрического тензора и тензора Риччи
Уравнения гравитационного поля В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объёму от скалярной кривизны:
Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путём взятия производной Эйлера — Лагранжа от скалярной плотности кривизны .
Свойства Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с удвоенной гауссовой кривизной многообразия. Интеграл от гауссовой кривизны по компактной поверхности равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса — Бонне.
См. также Кривизна римановых многообразий Задача Ямабе
Примечания
Категория:Общая теория относительности Категория:Дифференциальная геометрия и топология