Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только +1 и −1 на всей области определения.
В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из элементов. Группа из функций Уолша образует матрицу Адамара.
Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.
Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье.
Обобщением функций Уолша на случай более чем двух значений являются функции Виленкина — Крестенсона.
Обозначение Пусть функция Уолша определена на интервале [0, T]; за пределами этого интервала функция периодически повторяется. Введём безразмерное время . Тогда функция Уолша под номером k обозначается как . Нумерация функций зависит от метода упорядочения функций. Существует упорядочение по Уолшу — в этом случае функции обозначаются так, как описано выше. Также распространены упорядочения по Пэли () и по Адамару ().
Относительно момента функции Уолша можно разделить на чётные и нечётные. Они обозначаются как и соответственно. Эти функции аналогичны тригонометрическим синусам и косинусам. Связь между этими функциями выражается следующим образом:
Формирование Существует несколько способов формирования. Рассмотрим один из них, наиболее наглядный: матрица Адамара может быть сформирована рекурсивным методом с помощью построения блочных матриц по следующей общей формуле:
Так может быть сформирована матрица Адамара длины :
Каждая строка матрицы Адамара и является функцией Уолша.
В данном случае функции упорядочены по Адамару. Номер функции по Уолшу вычисляется из номера функции по Адамару путём перестановки битов в двоичной записи номера в обратном порядке с последующим преобразованием результата из кода Грея.
Пример Номер по Уолшу Двоичная форма Преобразование из кода Грея Перестановка бит Номер по Адамару 0 000 000 000 0 1 001 001 100 4 2 010 011 110 6 3 011 010 010 241001100113510111111176110101101571111000011
В итоге получается матрица Уолша, в которой функции упорядочены по Уолшу:
Свойства
1. Ортогональность Скалярное произведение двух разных функций Уолша равно нулю:
Пример Допустим, что n = 1, k = 3 (см. выше). Тогда
2. Мультипликативность Произведение двух функций Уолша даёт функцию Уолша:
где — поразрядное сложение по модулю 2 номеров в двоичной системе.
Пример Допустим, что n = 1, k = 3. Тогда
В результате умножения получим:
Преобразование Уолша — Адамара Является частным случаем обобщённого преобразования Фурье, в котором базисом выступает система функций Уолша.
Обобщённый ряд Фурье представляется формулой
где это одна из базисных функций, а — коэффициент.
Разложение сигнала по функциям Уолша имеет вид
В дискретной форме формула запишется следующим образом:
Определить коэффициенты можно, осуществив скалярное произведение раскладываемого сигнала на соответствующую базисную функцию Уолша:
Следует учитывать периодический характер функций Уолша.
Существует также быстрое преобразование УолшаБЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УОЛША. В. Н. Малозёмов .. Оно является в значительной степени более эффективным, чем преобразование Уолша — АдамараFast Walsh Transform .. Кроме того, для частного случая с двумя переменными функции Уолша обобщены как поверхностиRomanuke V. V. ON THE POINT OF GENERALIZING THE WALSH FUNCTIONS TO SURFACES .. Также существуют восемь аналогичных функциям Уолша базисов ортогональных бинарных функцийRomanuke V. V. GENERALIZATION OF THE EIGHT KNOWN ORTHONORMAL BASES OF BINARY FUNCTIONS TO SURFACES ., отличающихся нерегулярной структурой, которые также обобщены на случай функций двух переменных. Для каждого из восьми базисов доказано представление «ступенчатых» функций в виде конечной суммы бинарных функций, взвешиваемых с соответствующими коэффициентамиRomanuke V. V. EQUIDISTANTLY DISCRETE ON THE ARGUMENT AXIS FUNCTIONS AND THEIR REPRESENTATION IN THE ORTHONORMAL BASES SERIES ..
Литература
См. также Базис Хаара Матрица Адамара Коэффициент Уолша Ортонормированная система Ортогональный базис Ряд Фурье
Примечания
Категория:Математический анализ Категория:Дискретные преобразования Категория:Кусочно-линейные функции