Колебание функции на множестве — точная верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек , .
Колебание функции в точке — это предел колебания функции по базе окрестностей данной точки.
Определение
Величина называется колебанием функции на множестве .
Если теперь фиксировать , то можно определить колебание функции на множестве ; функция является невозрастающей функцией при и ограниченной снизу, поэтому она либо имеет конечный предел при , либо для любого будет . Это определение можно использовать для формулировки Критерия Коши существования предела функции и критерия непрерывности функции в точке.
Связанное определение Величина называется колебанием функции в точке .
Свойства
Функция непрерывна в точке , предельной для множества тогда и только тогда, когда её колебание в данной точке равно нулю: . Функция непрерывна на множестве тогда и только тогда, когда для любого существует элемент базы , колебание на котором будет меньше чем заданное : .
См. также Модуль непрерывности Критерий Коши Предел вдоль фильтра
Примечания
Ссылки
Категория:Математический анализ Категория:Функции