Цепь Чуа или схема Чуа — простейшая электрическая цепь, демонстрирующая режимы хаотических колебаний. Была предложена профессором Калифорнийского университета в 1983 году. Цепь состоит из двух конденсаторов, одной катушки индуктивности, линейного резистора и нелинейного резистора с отрицательным сопротивлением (обычно называемого диодом Чуа).
Математическая модель Систему уравнений для цепи изображённой на рисунке 1 можно получить используя первое правило Кирхгофа и формулу для напряжения на катушке индуктивности:
где и — напряжения на ёмкостях, — ток через катушку индуктивности, — кусочно-линейная функция характеризующая диод Чуа, определённая как
Эта нелинейная функция представлена графически на рисунке 2: крутизна внутреннего и внешнего участков есть Ga и Gb соответственно; при этом точки ±Е соответствуют изломам на графике.
Выполним следующие замены на безразмерные коэффициенты:
Основная система уравнений запишется в виде
где
Режимы работы Цепь Чуа обнаруживает хаотические режимы колебаний в довольно узкой области параметров. Основные режимы колебаний условно показаны на рисунке 3.
В случае, когда параметры α и β принадлежат области, обозначенной на диаграмме цифрой 1, в системе существуют два устойчивых положения равновесия d и −d и одно неустойчивое, находящееся в начале координат 0. В этом случае цепь Чуа в зависимости от начальных условий будет стремиться к одному из двух устойчивых положений равновесия. В случае, когда параметры системы находятся в области помеченной цифрой 2, в окрестности точки равновесия d или −d существует устойчивый предельный цикл. По мере приближения к границе с хаотическим режимом система претерпевает цикл удвоений периода вплоть до образования хаотического аттрактора Рёсслера. Приращение значений параметра перед наступлением каждой последующей бифуркации удвоения периода уменьшается согласно соотношению Фейгенбаума. При попадании параметров в область, помеченную цифрой 6, образуется странный аттрактор (рисунок 4), называемый «двойной завиток» (). При этом типе поведения траектория система проходит в окрестности и верхнего, и нижнего положения равновесия. Внутри области существования аттрактора «двойной завиток» также существуют окна периодичности, подобные тем, которые существовали в области аттрактора Рёсслера. Отличием их является то, что периодическая орбита в этом случае охватывает оба положения равновесия. Когда параметры α и β переходят в область, помеченную на рисунке 3 цифрой 11, в колебательной системе наблюдаются колебания неограниченно нарастающей амплитуды вне зависимости от начальных условий. Поскольку диод Чуа реализуется на операционных усилителях, он имеет ограниченный динамический диапазон, и поэтому в системе существует также большой по размерам устойчивый предельный цикл, охватывающий все сегменты характеристики диода Чуа.
На рисунках 5, 6 показаны временные зависимости колебаний, обнаруживаемых данной системой.
Самовозбуждающиеся и скрытые аттракторы в цепи Чуа В стандартных физических экспериментах запуск цепи Чуа при замыкании происходит из окрестности нулевых начальных данных. Гипотеза Чуа заключалась в том, что развитие хаоса в цепи и рождение аттрактора возможны только из неустойчивого нулевого состояния равновесия. К настоящему времени в цепи Чуа открыты сотни различных таких самовозбуждающихся аттракторов.
В 2009 году Н. В. Кузнецовым была предложена идея построения скрытого аттрактора Чуа, который сосуществует с устойчивым состоянием равновесия и его область притяжения не касается состояний равновесия, поэтому выбор начальных данных для его визуализации не очевиден. В дальнейшем были обнаружены различные конфигурации скрытых аттракторов в цепи Чуа и проведен бифуркационный анализ их рождения.
Осциллятор Чуа Термин «Осциллятор Чуа» используется для рассмотрения цепи Чуа с учётом активного сопротивления катушки индуктивности L. Данная схема имеет ещё большее число разнообразных режимов и может быть реализована практически (рисунок 7).
Принимая R0 — активное сопротивление катушки индуктивности L, получим систему уравнений
Лёгкость практической реализации, а также наличие относительно простой математической модели делает цепь Чуа удобной моделью для изучения хаоса.
См. также Мемристор
Примечания
Литература Кузнецов А. П. Наглядные образы хаоса // Соросовский образовательный журнал, 2000, № 11, с. 104—110;
Matsumoto, T. A Chaotic Attractor from Chua’s Circuit, IEEE Transactions on Circuits & Systems,1984, vol. CAS-31, no. 12, pp. 1055—1058. Chua, L. O., Komuro, M., Matsumoto, T. «The Double Scroll Family», IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1986, vol. CAS-33, no. 11, pp. 1073—1118. T. Matsumoto, L. O. Chua, M. Komuro. «Birth and death of the double scroll», Physica D Volume 24 , Issue 1-3 (Jan/Feb 1987). Stankevich N. V.; Kuznetsov N. V.; Leonov G. A.; Chua L. (2017). «Scenario of the birth of hidden attractors in the Chua circuit». International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 27 (12): 1730038-188 https://doi.org/10.1142/S0218127417300385
Ссылки Chua’s Circuit diagrams, equations, simulation and pictures Чуа Схемы, формулы, моделирования и фотографии Chua’s Circuit: Diagram and discussion NOEL laboratory. Leon O. Chua’s laboratory at the University of California, Berkeley References ТИИЭР Том 75 № 8 Август 1987
Категория:Электрические цепи Категория:Теория хаоса Категория:Динамические системы Категория:Хаотические отображения