4-градие́нт (четыре-градиент, четырёхградиент, 4-на́бла; обозначается , или ) в специальной теории относительности — 4-векторный дифференциальный оператор в псевдоевклидовом пространстве Минковского, определяемый как
где — 3-вектор градиента. Выше записаны ковариантные компоненты 4-векторного оператора. Контравариантные компоненты отличающиеся знаком минус перед пространственными компонентами, используются редко, например для вычисления квадрата 4-градиента (здесь и ниже — метрический тензор; используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся координатным индексам).
Если вычислить скалярное произведение на самого себя (учитывая, что пространство Минковского псевдоевклидово), то получится скалярный 4-мерный оператор Д’Аламбера:
где Δ — оператор Лапласа.
Ещё один способ обозначения 4-градиента — запятая перед координатным индексом. Так, если — скаляр, то его 4-градиент
Скалярное произведение вектора 4-градиента (слева) на 4-вектор определяет 4-дивергенцию:
где — контравариантные компоненты 4-вектора, а — дивергенция.
Символ (и иногда ) используется также как ковариантная производная в криволинейных координатах:
где — символы Кристоффеля. В декартовых координатах евклидового (псевдоевклидового) пространства символы Кристоффеля равны нулю, и ковариантная производная совпадает с 4-градиентом. Ковариантная производная скаляра совпадает с 4-градиентом независимо от криволинейности координат:
Ссылки S. Hildebrandt, «Analysis II» (Calculus II), ISBN 3-540-43970-6, 2003. L. C. Evans, «Partial differential equations», A.M.Society, Grad. Studies Vol. 19, 1988. J. D. Jackson, «Classical Electrodynamics» Chapter 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X.
Примечания
Категория:Специальная теория относительности Категория:Дифференциальные операторы