Унимодулярная решётка — целая решётка с определителем . Последнее эквивалентно тому, что объём фундаментальной области решётки равен .
Определения Решётка — свободная абелева группа конечного ранга с симметричной билинейной формой . Решётку можно также рассматривать как подгруппу в вещественном векторном пространстве с симметрической билинейной формой. Число называется размерностью решётки, это размерность соответствующего вещественного векторного пространства; это то же, что и ранг -модуля , или число образующих свободной группы . Решётка называется целой, если форма принимает только целочисленные значения. Норма элемента решётки определяется как . Решетка называется положительно определённой или лоренцевой, и так далее, если его векторное пространство таково. В частности: Решётка является положительно определённой, если норма всех ненулевых элементов положительна. Сигнатура решетки определяется как сигнатура формы на векторном пространстве. Определитель решётки — это определитель матрицы Грамма её базиса. Решётка называется унимодулярной, если её определитель равен . Унимодулярная решетка называется чётной, если все нормы её элементов чётны.
Примеры
, а также — унимодулярные решётки. Решётка E8, решётка Лича — чётные унимодулярные решётки.
Свойства Для данной решётки в вектора такие, что для любого также образуют решётку называемую двойственной решёткой к . Целая решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда её двойственная решетка является целой. Унимодулярная решётка тождественна своей двойственной. По этой причине унимодулярные решётки также называются самодвойственными. Нечётные унимодулярные решетки существует для всех сигнатур. Чётная унимодулярная решетка с сигнатурой существует тогда и только тогда, когда делится на 8. В частности, чётные положительно определенные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных 8. Тета-функция унимодулярных положительно определенных решёток является модулярной формой.
Приложения Вторая группа когомологий замкнутых односвязных ориентированных топологических четырёхмерных многообразий является унимодулярной решеткой. Михаил Фридман показал, что эта решетка практически определяет многообразие: существует единственное многообразие для каждой чётной унимодулярной решётки, и ровно по два для каждой нечётный унимодулярной решётки. В частности, для нулевой формы это влечёт гипотезу Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий. Теорема Дональдсона гласит, что если многообразие является гладким и его решётка положительно определена, то она должна представлять собой сумму копий . В частности, что большинство из этих многообразий не имеет гладкой структуры.
Литература
Внешние ссылки Каталог унимодулярных решёток Нила Слоуна. Sloane's A005134 : Number of n-dimensional unimodular lattices", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
Категория:Теория решёток (геометрия)