Майора́новский фермио́н (фермион Майора́ны) — фермион, который является своей собственной античастицей, в отличие от не являющегося собственной античастицей фермиона Дирака. Существование таких частиц было впервые рассмотрено итальянским физиком Этторе Майораной в 1937 году. В экспериментах с полупроводниковыми нанопроволоками наблюдались квазичастицы, обладающие свойствами майорановского фермиона. Экспериментальное обнаружение майорановских частиц как в физике высоких энергий, так и в области физики твёрдого тела приведёт к важным последствиям для науки в целом.

В физике элементарных частиц Предполагается, что нейтрино может быть либо фермионом Майораны, либо фермионом Дирака (в Стандартной модели все фермионы, включая нейтрино, являются дираковскими). Экспериментального подтверждения этого всё ещё нет, и теория Майораны, в итоге, может оказаться опровергнутой. В первом случае различие между нейтрино и антинейтрино определяется только их спиральностью: превращение нейтрино в антинейтрино можно осуществить переворотом спина (или, например, переходом в систему отсчёта, в которой импульс нейтрино направлен в противоположном направлении, что, правда, осуществимо лишь при ненулевой массе нейтрино). Если электронное нейтрино является фермионом Майораны и при этом массивно, то некоторые изотопы могут испытывать безнейтринный двойной бета-распад; при существующей чувствительности экспериментов этот распад пока не обнаружен, хотя в мире проводятся десятки экспериментов по поиску этого процесса.

Гипотетические частицы нейтралино в суперсимметричных моделях являются фермионами Майораны. Поэтому открытие майорановских фермионов будет дополнительным аргументом для теорий суперсимметрии.

Майорановские частицы, в отличие от дираковских, не могут обладать магнитным дипольным моментом (кроме недиагональных компонент магнитного момента, изменяющих аромат). Слабое взаимодействие с электромагнитными полями делает майорановские фермионы кандидатами для частиц холодной тёмной материи.

16 июля 2013 года коллаборация GERDA сообщила, что в результате обработки данных первой фазы долговременного эксперимента, проводящегося в итальянской подземной лаборатории Гран-Сассо на криогенном полупроводниковом мультидетекторе, состоящем из германия, обогащённого германием-76, не был обнаружен безнейтринный двойной бета-распад этого изотопа (нижнее ограничение на период полураспада — не менее 3·1025 лет). Это, как и ряд более ранних и менее чувствительных экспериментов, свидетельствует в пользу того, что нейтрино не является майорановской частицей; точнее, ограничивает сверху так называемую майорановскую массу электронного нейтрино, которая для дираковского фермиона должна быть в точности равна нулю. Установленное верхнее ограничение равно приблизительно . В настоящее время ряд как действующих, так и находящихся на стадии планирования и разработки экспериментов по поиску безнейтринного двойного бета-распада нацелен на улучшение инструментальной чувствительности. Последние доступные данные для оценок снизу для полураспада и оценок сверху для массы приведены в таблице на февраль 2023 года.

{| class="wikitable" |+ Оценка параметров |- ! Эксперимент !! Изотоп !! Полураспад !! Масса |- | style="background:#eaecf0;" | Gerda || 76Ge || 8,0·1025 лет || 0,12—0,26 эВ |- | style="background:#eaecf0;" | Majorana || 76Ge || 1,9·1025 лет || 0,24—0,53 эВ |- | style="background:#eaecf0;" | KamLAND-Zen || 136Xe || 10,7·1025 лет || 0,05—0,16 эВ |- | style="background:#eaecf0;" | EXO || 136Xe || 1,1·1025 лет || 0,17—0,49 эВ |- | style="background:#eaecf0;" | CUORE || 130Te || 1,5·1025 лет || 0,11—0,50 эВ |- | style="background:#eaecf0;" | KamLAND-Zen || 136Xe || 2,3·1026 лет || 0,036—0,156 эВ

Уравнение Дирака

Математически фермионы со спином 1/2 описываются уравнением Дирака вида: , где  — масса частицы, а матрицы и удовлетворяют антикоммутационным соотношениям , , . Так как выбор этих матриц неоднозначен, то их можно выбрать в виде: , благодаря чему в исходном уравнении все коэффициенты получаются мнимыми. Тогда уравнение, сопряжённое уравнению Дирака, не меняется: . Решению сопряжённого уравнения Дирака соответствует частица, которая является своей собственной античастицей () и называется майорановским фермионом. Существует бесконечное множество матриц .

Решениями этого уравнения выступает четырёхкомпонентный спинор, но такую систему из четырёх уравнений Майораны можно привести к виду двух независимых систем (из двух уравнений каждая) с решениями в виде левых () и правых () майорановских фермионов. Причём массы ( и ) в этих новых частицах не обязательно совпадают:

Эти уравнения можно получить, используя вариационный принцип в общем виде, исходя из лагранжиана электрослабого взаимодействия. Здесь интерес представляет выбор массового слагаемого в лагранжиане, вид которого определяет дираковский или майорановский фермионы используются в теории. Раньше такого вопроса не возникало из-за предположения о безмассовости нейтрино. Но открытие нейтринных осцилляций поставило вопрос о конечности масс этих истинно нейтральных фермионов. Если представить, что антинейтино и нейтрино на самом деле одна и та же частица (то есть майорановский фермион), то объяснение большой разницы в массах между нейтрино и другими лептонами может дать механизм качелей. Например, в этом случае, масса ненаблюдаемого экспериментально правого нейтрино велика по сравнению с массой электрона (), а масса левого составит малую величину порядка .

В физике твёрдого тела Если в физике высоких энергий вопрос о существовании или несуществовании майорановских фермионов остаётся открытым, то никаких сомнений в существовании в сверхпроводниках аналогичных элементарных возбуждений, предсказанных теоретически, нет. Вопрос заключается в демонстрации каких-либо связанных с ними наблюдаемых эффектов из-за технических сложностей. Некоторые квазичастицы (различные возбуждения коллективных состояний в твердотельных системах, ведущие себя подобно частицам) могут описываться как майорановские фермионы, причём их существует несколько типов в связи с возможностью выбрать размерность системы. В физике твёрдого тела майорановские фермионы также называются майорановскими состояниями, чтобы отличать их от решения трёхмерного уравнения Майораны. Интерес к таким квазичастицам (предсказанным, но пока не открытым экспериментально) связан с тем, что они теоретически могут использоваться в кубитах для топологического квантового компьютера — например, для сохранения информации, — при этом из-за своей нелокальной природы они менее чувствительны к влиянию среды. В одномерных системах говорят не о майорановских фермионах, а о майорановских локализованных состояниях, которые не перемещаются в системе свободно, благодаря чему сохраняют свои свойства из-за большого времени декогеренции. Возможное экспериментальное обнаружение таких объектов в комбинированных полупроводниковых-сверхпроводниковых наносистемах в сильном магнитном поле требует независимого подтверждения в связи со сложностью детектирования и существованием возможных альтернативных объяснений.

Майорановские фермионы могут существовать в экзотических системах, которые достаточно трудно реализуются на практике, например в p-волновых сверхпроводниках, полупроводниках в режиме дробного квантового эффекта Холла с фактором заполнением 5/2, на поверхности топологических изоляторов с использованием эффекта близости от s-волновых сверхпроводников, либо используя эффект близости между сверхпроводником и ферромагнетиком. С другой стороны, в 2010 году опубликовали две статьи, которые показали, как создать майорановские фермионы в полупроводниковых нанопроволоках.

Игрушечная модель Китаева

Алексей Китаев предложил рассмотреть гамильтониан бесспинового p-волнового сверхпроводника в терминах вторичного квантования: , где  — интеграл перескока,  — химический потенциал, и  — амплитуда и фаза параметра порядка. Можно ввести следующие майорановские фермионные операторы для этой задачи и , которые приводят к новому виду гамильтониана

. Два предельных случая: в первом случае химический потенциал меньше нуля, , а остальные параметры обращаются в ноль - . Тогда спаривание полуфермионов в фермионы происходит тривиальным образом для каждого узла цепочки. Во втором случае, когда химический потенциал равен нулю, , а интеграл перескока и параметр порядка равны - , то сумма превращается в слагаемые спаривающие полуфермионы в соседних узлах, причём крайние полуфермионы выпадают из суммы и образуют дважды вырождённый уровень при нуле энергии. Эти два узла можно превратить в обычный фермион сильно нелокальной природы . А гамильтониан приобретает обычный диагональный вид при преобразовании , : .

Фактически эта задача не имеет отношения к реальности, но показывает как получить майорановские связные состояния и какой гамильтониан во взаимодействующей системе должен появиться. В качестве возможного материала для реализации майорановских состояний Китаев предложил использовать нанопроволоки из p-волнового сверхпроводника, то есть одномерные сверхпроводники с триплетным состояниями куперовских пар.

Полупроводниковые нанопроволоки

В работах 2010 года наметился путь реализации майорановских фермионов на практике. Основное достижение заключалось в понимании влияния различных эффектов на майорановские связные состояния. В частности рассматривался гамильтониан (постоянная Планка равна единице) вида: , где волновая функция имеет вид . Первое слагаемое в подынтегральном выражении отвечает за кинетическую энергию частиц с учётом химического потенциала, второе — спин-орбитальное взаимодействие, третье — зеемановская энергия, четвёртое — сверхпроводимость. Нанопроволока ориентирована в направлении , спин-орбитальное взаимодействие вдоль , а магнитное поле вдоль . Матрицы Паули , действуют в спиновом пространстве и в пространстве частиц-античастиц. Индекс 0 отвечает за единичную матрицу. Гамильтониан имеет собственные значения вида: . Вблизи нуля волнового вектора возникает запрещённая зона . Когда выполняется условие говорят о возникновении топологически нетривиальной фазы, а точка, где ширина зоны равна нулю — точкой топологического фазового перехода. Она разделяет топологически тривиальную и нетривиальную фазы. Когда выполняется условие на существование топологически нетривиальной фазы на обоих краях нанопроволоки возникают майорановские связанные состояния при нуле энергии. На рис. 2 показано как возникает четыре ветви дисперсионных соотношений из второго уравнения при последовательном включении взаимодействий. Спин-орбитальное взаимодействие вида приводит к расщеплению параболического закона дисперсии для нанопроволоки. При добавлении сверхпроводимости добавляется электрон-дырочная симметрия, что удваивает количество дисперсионных кривых и возникает сверхпроводящая щель в спектре возбуждений. При приложении магнитного поля появляется зеемановское расщепление уровней , которое работает против сверхпроводимости и закрывает щель. При равенстве (химический потенциал ) достигается точка фазового перехода и щель пропадает, но при дальнейшем увеличении магнитного поля щель появляется вновь. Эта щель соответствует состоянию топологической сверхпроводимости.

Модель Фу — Кейна В двумерном случае реализация майорановских фермионов оказалась возможна в модели предложенной учёными Лян Фу и Чарльзом Кейном в 2008 году. Использовав модель топологического изолятора (проводимость в таких материалах существует только на поверхности) с нанесённым на его поверхность тонкого слоя сверхпроводника s-типа, они рассмотрели гамильтониан для волновой функции (в формализме Намбу) , где стрелками обозначены проекции спина, а индекс отвечает за транспонирование, вида ,