Теорема Пойнтинга () — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 году Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:
где — плотность энергии, — электрическая постоянная, — магнитная постоянная, — оператор набла, S — вектор Пойнтинга, J — плотность тока, E — напряженность электрического поля.
Теорема Пойнтинга в интегральной форме:
где — поверхность, ограничивающая объём .
В технической литературе теорема обычно записывается так ( — плотности энергии):
где — изменение плотности энергии электрического поля, — изменение плотности энергии магнитного поля и — мощность джоулевых потерь в единице объёма.
Вывод Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда — вакуум (μ = 1, ε = 1); для общего случая с произвольной средой нужно в формулы к каждому ε0 и μ0 приписать ε и μ):
Домножив обе части уравнения на , получим
Рассмотрим сначала уравнение Максвелла — Ампера:
Домножив обе части уравнения на , получим
Вычитая первое из второго, получим
Наконец,
Поскольку вектор Пойнтинга определяется как
это равносильно
Обобщение Механическая энергия описанной выше теоремы
где um — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α
— поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:
Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии:
Альтернативные формы Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока можно выбрать форму Авраама , форму Минковского , или какую-либо другую.
Категория:Электродинамика Категория:Физические теоремы Категория:Именные законы и правила