Теорема Гаусса (закон Гаусса) — один из основных законов электродинамики, входит в систему уравнений Максвелла. Выражает связь (а именно равенство с точностью до постоянного коэффициента) между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность произвольной формы и алгебраической суммой зарядов, расположенных внутри объёма, ограниченного этой поверхностью. Применяется отдельно для вычисления электростатических полей.
Аналогичная теорема, также входящая в число уравнений Максвелла, существует и для магнитного поля (см. ниже).
Также теорема Гаусса верна для любых полей, для которых одновременно верны принцип суперпозиции и закон Кулона или его аналог (например, для ньютоновской гравитации). При этом она является, как принято считать, более фундаментальной, чем закон Кулона, так как позволяет в частности вывести степень расстоянияИ позволяет сделать это не только для трехмерного пространства, но и для любой размерности пространства, какая может встретиться в теории. в законе Кулона «из первых принципов», а не постулировать её (или не находить эмпирически).
В этом можно видеть фундаментальное значение теоремы Гаусса (закона Гаусса) в теоретической физике.
Существуют аналоги (обобщения) теоремы Гаусса и для более сложных полевых теорий, чем электродинамика.
Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля в вакууме Общая формулировка: Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду.
СГССИ где — поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность . — полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничивает поверхность . — электрическая постоянная. Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.
Замечание: поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда (расположения зарядов) внутри поверхности.
В дифференциальной форме теорема Гаусса выражается следующим образом:
СГССИ Здесь — объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды — суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а — оператор набла.
Теорема Гаусса может быть доказана как теорема в электростатике исходя из закона Кулона и принципа суперпозиции (см. ниже). Формула, однако, также верна в электродинамике, хотя в ней она чаще всего не выступает в качестве доказываемой теоремы, а выступает в качестве постулируемого уравнения (в этом смысле и контексте её логичнее называть законом ГауссаХотя на практике, особенно в разговорной речи, различия в употреблении этих терминов зачастую не делается.).
В искривлённом пространстве-времени поток электромагнитного поля через замкнутую поверхность выражается в виде , где есть скорость света; обозначает временные компоненты тензора электромагнитного поля; есть детерминант метрического тензора; представляет собой ортонормированный элемент двумерной поверхности, окружающей заряд ; индексы и не совпадают друг с другом. // О ковариантном представлении интегральных уравнений электромагнитного поля .
Теорема Гаусса для электрической индукции (электрического смещения) Для поля в диэлектрической среде электростатическая теорема Гаусса может быть записана ещё и иначе — через поток вектора электрического смещения (электрической индукции) . При этом теорема переформулируется: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности свободному электрическому заряду:
СГССИ
В дифференциальной форме: СГССИ
Теорема Гаусса для магнитной индукции Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:
или в дифференциальной форме
Это эквивалентно тому, что в природе не существует «магнитных зарядов» (монополей), которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое полеЕсли бы магнитные монополи существовали (или если они на самом деле существуют и будут обнаружены), приведенные уравнения имели бы вид (или должны будут принять вид):
где — магнитный заряд (заряд магнитных монополей) и плотность магнитного заряда. Кроме прочего, ничто не запрещает рассмотреть магнитные заряды чисто формально, в духе теоремы Ампера о магнитном листке, когда это удобно для решения какой-то задачи; в этом случае поток, создаваемый формально введенными магнитными зарядами, также удовлетворяет приведенным здесь уравнениям. При этом изменится еще и уравнение Максвелла о законе электромагнитной индукции. (Приведен вид уравнений в полностью рационализированной системе единиц; в зависимости от выбора конкретной системы единиц, в правой части может возникать постоянный множитель, например в обычной гауссовой системе единиц там появится обычный для неё множитель ).. Иными словами, теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что магнитное поле является (полностью) вихревым.
Теорема Гаусса для ньютоновской гравитации
Для напряжённости поля ньютоновской гравитации (ускорения свободного падения) теорема Гаусса практически совпадает с таковой в электростатике, за исключением только констант (впрочем, всё равно зависящих от произвольного выбора системы единиц) и, главное, знакаЗнак минус появляется из-за того, что таков и знак в законе всемирного тяготения, аналоге закона Кулона в ньютоновской теории гравитации.:
где g — напряжённость гравитационного поля, M — гравитационный заряд (то есть масса) внутри поверхности S, ρ — плотность массы, G — ньютоновская константа.
Интерпретации
В терминах силовых линий Теорема Гаусса может быть интерпретирована в терминах силовых линийТакая интерпретация исторически восходит, видимо, к Фарадею. поля так: Поток поля через поверхность естьИли пропорционален ему с постоянным коэффициентом (что то же самое, так как зависит только от условной конкретизации модели). количество силовых линий, пронизывающих эту поверхность. При этом учитывается направление — силовые линии, пронизывающие поверхность в обратном направлении считаются со знаком минус. Силовые линии начинаются или кончаются только на зарядах (начинаются на положительных, кончаются на отрицательных), или могут ещё уходить на бесконечность. Количество силовых линий, исходящих из заряда (начинающихся в нём) равноИли пропорционально, в зависимости от используемых единиц измерения и условного соглашения реализации модели. величине этого заряда (это определение заряда в данной модели). Для отрицательных зарядов всё так же, только заряд равен минус количеству входящих в него (кончающихся на нём) линий. Исходя из этих двух положений, теорема Гаусса представляется очевидной в формулировке: количество линий, исходящих из замкнутой поверхности, пропорционально суммарному количеству зарядов внутри неё — то есть количеству линий, появившихся внутри неё. Конечно же, подразумевается учёт знаков, в частности, линия, начавшаяся внутри поверхности на положительном заряде может закончиться на отрицательном заряде также внутри неё (если такой там есть), тогда она не даст вклада в поток через эту поверхность, так как или вообще до неё не дойдёт, или выйдет, а потом войдёт обратно (или, вообще говоря, пересечёт поверхность чётное количество раз поровну в прямом и противоположном направлении), что при суммировании с учётом знака даст вклад в поток ноль. То же можно сказать о линиях, начавшихся и закончившихся вне данной поверхности, — по той же причине они также дадут нулевой вклад в поток через неё.
В терминах течения несжимаемой жидкости
Теорема Гаусса верна для поля скоростей несжимаемой жидкости. Этот факт позволяет использовать течение несжимаемой жидкости в качестве аналогии (формальной модели), позволяющей прояснить её смысл и наглядно представить её математическое содержание.Исторически эта аналогия имела существенное значение для Максвелла и интенсивно применялась в ходе последующего развития электродинамики.
Даже сама терминология векторного анализа, используемая в электродинамике (и в частности при формулировке теоремы Гаусса) сформировалась почти целиком под влиянием этой аналогии. Достаточно указать на такие термины, как источник поля (применительно к заряду) или поток через поверхность, которые полностью и точно соответствуют в рассматриваемой аналогии понятиям: источник жидкости (в смысле места, где жидкость возникает и количественной меры её возникновения — объём, возникающий в единицу времени), поток (в смысле количества жидкости, проходящей через поверхность в единицу времени).
В терминах течения несжимаемой жидкости теорема Гаусса формулируется так: Поток жидкости, исходящий из замкнутой поверхности, равен сумме источников, находящихся внутри этой поверхности. Или, более формально: Поток вектора скорости жидкости через замкнутую поверхность равен сумме источников, находящихся внутри этой поверхности. (В сущности, это интегральный вариант уравнения непрерывности для несжимаемой жидкости, выражающего сохранение массы жидкости с учётом постоянства её плотности).
В этой формальной аналогии напряжённость поля заменяется на скорость течения жидкости, а заряд — на источник жидкости (отрицательный заряд — на «отрицательный источник» — «сток»).
Теорема Гаусса как определение заряда
Теорема ГауссаДля тех теорий и полей, когда она выполняется, то есть, например, для электродинамики. может рассматриваться как определение (величины) заряда.
Так, для точечного заряда очевидно, что поток напряжённости поля через любую поверхность равен потоку через маленькую (бесконечно маленькую) сферу, окружающую этот заряд. Тогда последний (с точностью, быть может, до постоянного коэффициента, в зависимости от нашего произвольного выбора единиц измерения) может быть выбран в качестве определения величины этого заряда.
Вблизи заряда (бесконечно близко к нему) его собственное поле, очевидно, даёт подавляющий вклад в поток через бесконечно маленькую сферу (поскольку поле безгранично растёт с уменьшением расстояния). Значит, остальными полями (порождаемыми другими зарядами) можно пренебречь. Тогда можно увидеть, что данное определение согласуется с обычным (через закон Кулона).
В современной физике обычно принято считать, что определение через закон Гаусса более фундаментально (как и сам закон Гаусса по сравнению с законом Кулона — см. ниже).
Теорема Гаусса и закон Кулона
Теорема Гаусса и закон Кулона тесно связаны, как формально, так и по физическому содержанию. Встречается упрощённое утверждение, что теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона или наоборот, что закон Кулона является следствием теоремы (закона) Гаусса.
В действительности закон Гаусса нельзя вывести только из закона Кулона, так как закон Кулона даёт поле только точечного заряда. Для доказательства теоремы Гаусса нужны не только закон Кулона, но и принцип суперпозиции"...мощную «интегральную» теорему-следствие из закона Кулона и принципа суперпозиции – теорему Гаусса." А.В. Зотеев, А.А. Склянкин. Лекции по курсу общей физики. Механика. Электричество и магнетизм. Учебное пособие. – Издательство МГУ им. М.В.Ломоносова, филиал МГУ в г. Баку, 2014. – 242 с. Цитата на с.99.
Закон Кулона невозможно вывести только из закона Гаусса, так как закон Гаусса не содержит информации о симметрии электрического поля"Другими словами, один закон Гаусса не является достаточным условием симметрии поля точечного источника, подразумеваемого в законе Кулона" Парселл Э. Берклеевский курс физики (в 5 томах). Т.2: Электричество и магнетизм. Пер. с англ. Т.2. 1971. 448 с. Примечание на с.42. Для доказательства закона Кулона нужны не только закон Гаусса, но и дополнительное утверждение (например, о сферической симметрии поля, либо о равенстве нулю ротора поля).