Четырнадцатая проблема Гильберта — четырнадцатая из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Она посвящена вопросу конечной порождённости возникающих при определённых конструкциях колец. Исходная постановка Гильберта была мотивирована работой Маурера, в которой утверждалась конечная порождённость алгебры инвариантов линейного действия алгебраической группы на векторном пространстве; собственно же вопрос Гильберта касался кольца, получаемого пересечением подполя в поле рациональных функций с кольцом многочленов.Записки курса И.Аржанцева «Алгебры инвариантов и 14 проблема Гильберта »
Однако вскоре после доклада выяснилось, что работа Маурера содержала ошибку, — и вопрос Гильберта начали рассматривать как вопрос о конечной порождённости алгебр инвариантов линейных алгебраических групп. Неожиданным образом оказалось, что ответ на этот вопрос отрицателен: в 1958 году на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата предъявил к нему контрпримерДьёдонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. - М., Мир, 1974. - c. 74-81 . Им была построенаM. Nagata, Lectures on the Fourteenth problem of Hilbert. Tata Institute, 1965. подгруппа в GL(n), алгебра инвариантов которой не является конечно порождённой. Эта конструкция была затем упрощена Стейнбергом в его работеR. Steinberg, Nagata’s example. In: «Algebraic Groups Lie Groups», Austral. Math. Soc. Lect. Series 9, Cambr. University Press (1997), 375—384. 1997 года.
Формулировки
Исходная формулировка Гильберта
14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.
<...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...>
Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций от переменных :
Всякая целая рациональная связь между , если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от . Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от , которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от . Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от . <...> Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от , через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге
Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры , где — порождённое поле. Поскольку всякое промежуточное поле является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом:
Пусть — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра конечно порождена?
Конечная порождённость алгебры инвариантов
Литература
#14 Категория:Теория представлений