Избыточное число — положительное целое число , сумма положительных собственных делителей (всех делителей, отличных от ) которого превышает .
Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: избыточные числа, совершенные числа, недостаточные числа.
Первые избыточные числа: , , …
Число 48, например, является избыточным, поскольку = 76, 76 > 48.
Наименьшим избыточным числом является . Наименьшим нечётным избыточным числом является .
Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел. Почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно, произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью (см. асимптотическая плотность), лежащей между 0,2474 и 0,2480.
Индексом избыточности называется величина , где — сумма делителей числа (для совершенных чисел ).
Существуют числа со сколь угодно большим индексом избыточности. Последовательность минимальных чисел , таких что .
Шнирельман доказал, что любое натуральное число, большее , может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел.
Специальные классы избыточных чисел — сверхизбыточные числа и слегка избыточные числа (существование последних — открытая проблема).
Примечания
Литература
Категория:Целочисленные последовательности