Пифагорова тройка

Пифаго́рова тро́йка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению

При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты задолго до него.

Треугольник, длины сторон которого образуют пифагорову тройку, является прямоугольным и называется пифагоровым треугольником.

Примитивные тройки Из уравнения непосредственно следует, что при умножении , и на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется основной, или примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки. Другими словами, наибольший общий делитель примитивной пифагоровой тройки равен 1. У такой тройки числа и взаимно просты, иначе имело бы с ними общий делитель. Отсюда следует, что числа в основной пифагоровой тройке попарно взаимно просты.

В примитивной тройке числа и имеют разную чётность, причём чётное делится на 4, а  — всегда нечётно.

Любая примитивная пифагорова тройка , где  — нечётно, а  — чётно, однозначно представляется в виде для некоторых натуральных взаимно простых чисел разной чётности.

Эти числа можно вычислить по формулам

Наоборот, любая такая пара чисел задаёт примитивную пифагорову тройку .

Примеры

Имеется 16 примитивных пифагоровых троек с : (3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25) (20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53) (11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73) (13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97) Не все тройки с примитивны, например, (6, 8, 10) получается умножением на два тройки (3, 4, 5). Каждая из троек с небольшой гипотенузой образует хорошо различимую радиальную прямую из кратных ей троек на диаграмме рассеяния.

Примитивные тройки с : (20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125) (88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149) (85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181) (57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197) (84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221) (60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257) (23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277) (160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)

Возможные значения в пифагоровых тройках образуют последовательность () 5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, …

Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи, можно образовывать из этих чисел, например, такие пифагоровы тройки:

История

Наиболее известной в развитых древних культурах была тройка (3, 4, 5), которая позволяла древним строить прямые углы. Витрувий считал эту тройку высшим достижением математики, а Платон — символом супружества, что говорит о большом значении, которое придавали древние тройке (3, 4, 5).

В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей.

В древнем Египте пифагоров треугольник (3, 4, 5) стал известен не позднее правления фараона Хеопса; он обнаруживается при анализе погребальной камеры фараона в его пирамиде. Розовая пирамида фараона Снофру (XXVII век до н. э.) предположительно построена с использованием треугольника (20, 21 и 29): половина длины ее основания оценивается в 210, а высота — в 200 царских локтей. Наклон в 62° пирамиды жены фараона Тети, Ипут I (VI династия, XXIV в. до н. э.), мог быть получен с использованием пифагорова треугольника (8, 15, 17).

Вавилонские математики умели вычислять пифагоровы тройки. Вавилонская глиняная табличка, названная Plimpton 322, содержит пятнадцать пифагоровых троек (точнее пятнадцать пар чисел , таких что ). Считается, что эта табличка была создана около 1800 года до н. э.

Раннее упоминание пифагоровой тройки (3, 4, 5) в Китае — в «Чжоу би суань цзин».

Генерация троек

Формула Евклида является основным средством построения пифагоровых троек. Согласно ей для любой пары натуральных чисел и () целые числа

образуют пифагорову тройку. Тройки, образованные по формуле Евклида, примитивны тогда и только тогда, когда и взаимно просты и нечётно. Если и , и нечётны, то , и будут чётными и тройка не примитивна. Однако деление , и на 2 даёт примитивную тройку, если и взаимно просты.

Любая примитивная тройка получается из единственной пары взаимно простых чисел и , одно из которых чётно. Отсюда следует, что существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек.

Несмотря на то, что формула Евклида генерирует все примитивные тройки, она не порождает все тройки. При добавлении дополнительного параметра получается формула, порождающая все пифагоровы треугольники единственным образом:

где , и  — натуральные числа, , нечётно, и взаимно просты.

То, что эти формулы образуют пифагоровы тройки, можно проверить путём подстановок в и проверки, что результат совпадает с . Поскольку любую пифагорову тройку можно разделить на некоторое , чтобы получить примитивную тройку, любая тройка может быть образована единственным образом с использованием и для создания примитивной тройки, а затем она умножается на .

Со времён Евклида было найдено множество формул для генерации троек.

Доказательство формул Евклида Тот факт, что числа , , , удовлетворяющие формуле Евклида, всегда составляют пифагоров треугольник, очевиден для положительных целых и , , поскольку после подстановки в формулы , и будут положительными числами, а также из того, что выполняется

Обратное утверждение, что , , выражаются формулой Евклида для любой примитивной пифагоровой тройки, вытекает из следующего. Все такие тройки можно записать в виде (, , ), где , и , , являются взаимно простыми, а и имеют противоположную чётность (одно из них чётно, другое нечётно). (Если имеет ту же самую чётность с обоими катетами, то в случае их чётности они не будут взаимно простыми, а в случае нечётности даст чётное число, и оно не может быть равно нечётному .) Из мы получаем , а следовательно, . Тогда . Поскольку является рациональным, мы представим его в виде несократимой дроби . Мы отсюда же получаем, что дробь равна . Решая уравнения

относительно и , получим

Поскольку и несократимы по предположению, числители и знаменатели будут равными тогда и только тогда, когда правые части каждого равенства несократимы. Как мы условились, дробь тоже несократима, откуда следует, что и взаимно просты. Правые части будут несократимы тогда и только тогда, когда и имеют противоположную чётность, так что числитель не делится на 2. (А и должны иметь противоположную чётность — оба не могут быть чётными ввиду несократимости, а в случае нечётности обоих чисел деление на 2 даст дробь, в числителе и знаменателе которой будут нечётные числа, но эта дробь равна , в которой числитель и знаменатель будут иметь различную чётность, что противоречит предположению.) Теперь, приравнивая числители и знаменатели, получим формулу Евклида , , с и взаимно простыми и имеющими различную чётность.

Более длинное, но и более общепринятое доказательство приведено в книгах Маора (Maor, 2007) и Серпинского.

Интерпретация параметров в формуле Евклида Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами и (). Обозначим угол между катетом и гипотенузой буквой . Тогда, поскольку

то можно выразить стороны пифагоровой тройки через угол :

Элементарные свойства примитивных пифагоровых троек Свойства примитивной пифагоровой тройки , где (без указания чётности чисел или ): всегда является полным квадратом. Это особенно полезно для проверки, является ли заданная тройка чисел пифагоровой, хотя это и не является достаточным условием. Тройка проходит этот тест, поскольку является полным квадратом, но эта тройка не является пифагоровой. Если тройка чисел , и образует пифагорову тройку, то число ( минус чётный катет) и половина числа ( минус нечётный катет) являются полными квадратами, однако это не является достаточным условием, и тройка является контрпримером, поскольку . Максимум одно из чисел , и является квадратомНесуществование решения, в котором и , и являются квадратами, первоначально доказано Пьером Ферма. Для других случаев, в которых является одним из квадратов, см. в книге Стиллвела.. Площадь пифагорова треугольника не может быть квадратом или удвоенным квадратом натурального числа. В точности одно из чисел и нечётно, всегда нечётно. В точности одно из чисел и делится на 3. В точности одно из чисел и делится на 4. В точности одно из чисел , и делится на 5. Максимальное число, которое всегда делит произведение , равно 60. Все простые множители являются простыми вида . Таким образом, имеет вид . Число ( − ) является произведением простых чисел вида , то есть не имеет таких сомножителей, как 2, 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, 53, 59, 61, 67, 83, 101, … Площадь () является чётным конгруэнтным числомЭто следует из факта, что одно из чисел или делится на четыре, и из определения конгруэнтных чисел как площадей прямоугольных треугольников с рациональными сторонами. В любой пифагоровой тройке радиус вписанной окружности и радиусы трёх вневписанных окружностей являются натуральными числами. В частности, для примитивной тройки радиус вписанной окружности равен , а радиусы вневписанных окружностей, касающихся катетов , , и гипотенузы равны соответственно , и . Как и для любого прямоугольного треугольника, обратное утверждение к теореме Фалеса гласит, что диаметр описанной окружности равен гипотенузе. Поскольку для примитивных троек диаметр равен , радиус описанной окружности является половиной этого числа и это число рациональное, но не целое (поскольку и имеют разную чётность). Если площадь пифагорова треугольника умножить на кривизны вписанной окружности и трёх вневписанных, в результате получим четыре положительных целых соответственно. Эти числа удовлетворяют уравнению декартовых окружностей. Эквивалентно, радиус любого прямоугольного треугольника равен его полупериметру. Внешний центр Содди расположен в точке , где  — прямоугольник,  — прямоугольный треугольник, а  — его гипотенуза. Не существует пифагоровых троек, для которых гипотенуза и один из катетов являются катетами другой пифагоровой тройки. Это одна из формулировок теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике. Каждый примитивный пифагоров треугольник имеет уникальное отношение площади к квадрату полупериметра (то есть отношения для различных примитивных треугольников различны), и это отношение равно

Ни в каком примитивном пифагоровом треугольнике высота, опирающаяся на гипотенузу, не выражается целым числом, а потому он не может быть разбит на два пифагоровых треугольника.

Кроме того, могут существовать специальные пифагоровы тройки с некоторыми дополнительными свойствами: Любое целое, большее 2, которое не (другими словами, если оно больше 2 и не имеет вид 4 + 2) является частью примитивной пифагоровой тройки. Любое целое число, большее 2, входит в примитивную или непримитивную пифагорову тройку. Например, числа 6, 10, 14 и 18 не содержатся ни в какой примитивной тройке, но входят в тройки 6, 8, 10; 14, 48, 50 и 18, 80, 82. Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший из катетов отличаются ровно на единицу (такие тройки заведомо примитивны). Один из способов получения таких троек — равенство , приводящее к тройкам , , , Более общее утверждение: для любого нечётного целого существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и чётный катет отличаются на . Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два. Обобщение: Для любого целого , существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и нечётный катет отличаются на . Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых два катета отличаются ровно на единицу. Например, . Для любого натурального существует пифагоровых троек с различными гипотенузами и одной и той же площадью.