Лемма Адамара (, ) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара.

Пусть  — функция класса , где , определённая в выпуклой окрестности точки . Тогда существуют такие функции класса , определённые в , что для всех имеет место равенство

Если функция  — аналитическая, то и функции в приведенной выше формуле аналитические.

Обобщенная формулировка Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменных играет роль параметров:

Пусть  — функция класса , где , определённая в выпуклой окрестности точки , при этом и . Тогда существуют такие функции класса , определённые в , что для всех имеет место равенство

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную функцию , где  — дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть пробегает значения из отрезка , тогда функция , рассматриваемая как функция при каждом фиксированном значении параметра , пробегает в пространстве функций от переменных некоторую кривую с концами и .

Рассматривая как функцию переменной , зависящую от параметров и , и применяя формулу Ньютона — Лейбница, можно записать:

где

Требуемая гладкость функций следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.

Применения Лемма Адамара позволяет получить ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей. С помощью леммы Адамара легко доказывается Лемма Морса. Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции обращается в нуль на гиперплоскости , то он представим в виде где  — некоторая гладкая функция. Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции имеет место представление где и  — гладкие функции. Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:

где и  — гладкие функции и  — произвольное натуральное число.

См. также Формула Тейлора Лемма Морса

Примечания

Литература

Адамара Категория:Теория катастроф А