Теорема Риба о сфере: Пусть на замкнутом ориентируемом связном многообразии существует слоение с особенностями, все особые точки которого изолированы и являются центрами. Тогда гомеоморфно сфере , и слоение имеет ровно две особые точки.
Теорема доказана в 1946 году французским математиком Жоржем Рибом.
Морсовское слоение Изолированная особая точка слоения F называется точкой морсовского типа, если в её малой окрестности все слои являются уровнями некоторой функции Морса, а сама она является критической точкой этой функции.
Особая точка морсовского типа называется центром, если она является локальным экстремумом функции; в противном случае она называется седлом.
Обозначим ind p = min(k, n − k), индекс особенности , где k — индекс соответствующей критической точки морсовской функции. В частности, центр имеет индекс 0, индекс седла по меньшей мере 1.
Морсовское слоение F на многообразии M это особое трансверсально ориентированное слоение коразмерности 1 класса C2 с изолированными особенностями, причем: все особенности F морсовского типа, каждый особый слой L содержит только одну особую точку p; при этом, если ind p = 1 то несвязно.
Пусть c — число центров морсовского слоения F, и — число его седел, оказывается, что разность c − s тесно связана с топологией многообразия .
Теорема Риба о сфере Рассмотрим случай c > s = 0, то есть все особенности являются центрами, седла отсутствуют.
Теорема:G. Reeb, Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complétement intégrable ou d’une fonction numérique. — C.R.A.S. Paris 222, 1946, pp. 847—849. Пусть на замкнутом ориентированном связном многообразии размерности существует -трансверсально ориентированное слоение коразмерности 1 с непустым множеством изолированных особых точек, которые все являются центрами. Тогда слоение имеет ровно две особые точки, и многообразие гомеоморфно сфере .
Этот факт является следствием теоремы Риба об устойчивости.
Вариации и обобщения
Более общим является случай
В 1978 году Вагнер (E. Wagneur) обобщил теорему Риба о сфере на морсовские слоения с седлами. Он показал, что число центров не может быть слишком велико в сравнении с числом седел, а именно, . Таким образом, есть ровно два случая, когда :
(1)
(2)
Вагнер также описал многообразия, на которых существуют слоения, удовлетворяющие случаю (1).
ТеоремаE. Wagneur, Formes de Pfaff à singularités non dégénérées — Annales de l’institut Fourier, 28, N3, 1978, p. 165—176 : Пусть на компактном связном многообразии , существует морсовское слоение с центрами и седлами. Тогда . Если , то
гомеоморфно сфере ,
все седла имеют индекс 1,
каждый неособый слой диффеоморфен сфере .
Наконец, в 2008 году Камачо и Скардуа (C. Camacho, B. Scardua) рассмотрели случай (2), . Интересно, что этот случай возможен только в некоторых размерностях.
ТеоремаC. Camacho, B. Scardua, On foliations with Morse singularities. — Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, p. 4065—4073 : Пусть компактное связное многообразие и — морсовское слоение на . Если , то
или ,
является многообразием Илса — Кёйпера.
Ссылки
Категория:Топология Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Слоения Риба о сфере