Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами. Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.
Эта метрика была введена Эдвардсом в 1975 г.D. Edwards, «The Structure of Superspace », in «Studies in Topology», Academic Press, 1975A. Tuzhilin, «Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance? (2016)», arXiv:1612.00728, а затем переоткрыта и обобщена М. Л. Громовым в 1981 г. M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.S., 53, 1981 . Громов использовал эту метрику в доказательстве теоремы о группах полиномиального роста.
Определение Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств и определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях и в общее метрическое пространство . При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам .
Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между и в дизъюнктном объединении , снабжённым метрикой такой, что сужение на совпадает с метрикой на и сужение на совпадает с метрикой на . При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам .
Комментарии Часто слова «изометрический класс» опускаются, то есть вместо «расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами и » говорится «расстояние Громова — Хаусдорфа между и ». Расстояние между изометрическими классами и обычно обозначается или . Множество изометрических классов компактных метрических пространств, снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа, обычно обозначается , или . Собственный класс метрических пространств, рассматриваемых с точностью до нулевого расстояния Громова — Хаусдорфа обозначается .
Связанные определения Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства , если при
Свойства Метрическое пространство является линейно связным, полным, сепарабельным, и с внутренней метрикой. Более того, является геодезическим; то есть, любые две его точки соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между этими точками. Пространство Громова — Хаусдорфа глобально неоднородно; то есть, его группа изометрий тривиальна, однако локально имеется много нетривиальных изометрий. Пространство изометрично пространству классов конгруэнтности компактных подмножеств пространства Урысона с метрикой Хаусдорфа с точностью до движения . Любое вполне равномерно ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа. Семейство метрических пространств называется вполне равномерно ограниченным, если диаметры всех пространств этого семейства ограничены одной и той же константой, и для любого существует такое целое положительное число , что любое пространство из допускает -сеть из не более чем точек. Из этого свойства, в частности, следует теорема Громова о компактности, аналогичная теореме выбора Бляшке для метрики Хаусдорфа.
Вариации и обобщения В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром, снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством. Если разрешить метрике принимать значение , то можно также отказаться от конечности диаметра.
Примечания
Литература M. Gromov. «Structures métriques pour les variétés riemanniennes», edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981. M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
Категория:Метрическая геометрия Громова — Хаусдорфа метрика