Основа́ния матема́тики — система общих для всей математики понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные её разделы.
С античности и приблизительно до конца XVII века источником, описывающим основные понятия и методы математики считался трактат Евклида «Начала» (ок. 300 г. до н. э.). В нём геометрия и теория чисел представлялись как единая аксиоматическая система (на уровне строгости того времени), в которой из исходных предположений (постулатов или аксиом) с помощью выделенного набора логических средств выводились следствия о свойствах первичных понятий (точка, прямая, число и т. д.) и конструируемых из них объектов (геометрические фигуры). Несмотря на отмечавшиеся ещё в античности пробелы в рассуждениях Евклида, его построения в целом считались приемлемыми для описания всего здания тогдашней математики, и до Нового времени последовательной критики не вызывали.
Положение стало меняться в конце XVII века с изобретением Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений, логическое обоснование которых долгое время оставалось непрояснённым. Оно было получено лишь в середине XIX века стараниями Огюстена Коши, Карла Вейерштрасса, Бернгарда Римана и других математиков на основе предложенного Коши понятия предела, причём проведённый в связи с этим анализ выявил необходимость более детальной, чем у Евклида, систематизации элементарных свойств чисел.
Одновременно с этим появились свидетельства в пользу необходимости пересмотра другой части евклидовых построений, а именно, конструкций, описывающих геометрические объекты. Открытия Николая Лобачевского и других показали, что, помимо евклидовой геометрии, опирающейся на, как казалось до этого, наиболее интуитивно очевидные аксиоматические предположения, возможны альтернативные геометрии, выводимые из других аксиом, но с такой же достоверностью способные описывать явления природы.
Возникшее у математиков в связи с этим понимание, что фундамент их науки следует перенести в более глубинные её области, оперирующие с объектами, более простыми, чем числа и геометрические фигуры (но такими, чтобы все остальные математические объекты можно было с их помощью построить), привело в последней четверти XIX века Георга Кантора к созданию теории множеств, быстро завоевавшей популярность в качестве нового языка математики. Однако обнаруженные в начале XX века противоречия в теории Кантора спровоцировали кризис в математике, выявив необходимость пересмотра её оснований.
Предпринятые вслед за этим исследования в этой области привели к уточнению (формализации) понятий «аксиоматическая система» и «доказательство», перестройке на этой основе математической логики, и к построению формальных аксиоматических теорий множеств, признаваемых ныне фундаментом всей математики.
Кроме того, в настоящее время развивается теория категорий, которая потенциально может заменить теорию множеств в качестве основания математики.
Главные идеи и результаты Никола Бурбаки определяет математику как «науку об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание той или иной математической теории».Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963. С. 32, 258.
Предельная идеализация объектов математики может казаться препятствием к их изучению, однако ещё в древности было замечено, что одним из следствий этой идеализации является, наоборот, возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами вплоть до построения иерархии между ними с выделением элементарных объектов, из которых строятся все остальные. В античной математике такими элементарными объектами были (понимаемые в значительной мере интуитивно) числа и геометрические формы (точка, линия, поверхность и т. д.)Начала Евклида. Книги I—VI. М.: ОГИЗ, 1948.. В современной математике ими являются множества.
Этот факт можно считать результатом двух важных наблюдений, сделанных на самом начальном этапе развития теории множеств: Декартово произведение двух множеств и можно определить как множество упорядоченных пар , с и , в котором сами упорядоченные пары определяются как множества вида (состоящие из двух элементов, и , причём второй элемент — это множество из двух элементов, и ).Определение как множества принадлежит польскому математику Казимежу Куратовскому, но до него идея определить упорядоченную пару а вместе с ней и декартово произведение (с другими, более сложными, чем у Куратовского, построениями) как множества специального вида, высказывалась разными математиками, в частности, Норбертом Винером. Функцию или отображение множества в множество можно также определить как некое множество, а именно, как подмножество в декартовом произведении , удовлетворяющее следующим двум условиям: {| |style = text-align: center | | |(«для любого существует , такой что »),
|(«если и , то »). |} Первое условие здесь означает, что каждому аргументу сопоставлено некоторое значение функции , а второе — что это значение единственно.
Из этих наблюдений следует вывод, серьёзно повлиявший на отношение современников к теории множеств Кантора: все математические объекты, за исключением тех, которые используются в описании самого понятия множества, можно определить как множества с подходящими свойствами.
♦ Как иллюстрация, теория чисел может быть представлена как часть теории множеств, её , если заметить, что изучаемые ею объекты — числа — допускают описания как множества специального вида: Натуральные (неотрицательные целые) числа естественно определяются как конечные ординалы (с отношением порядка и операциями сложения и умножения для ординалов). Целые числа затем определяются как элементы фактормножества декартова квадрата множества натуральных чисел, по отношению эквивалентности
с отношением порядкаЗдесь под понимается класс эквивалентности, которому принадлежит пара .
и алгебраическими операциями
и при этом вложение в описывается формулой . Класс эквивалентности интерпретируется как целое число в обычной записи (с ). Рациональные числа определяются как элементы фактормножества декартова произведения множества целых чисел и множества натуральных чисел без нуля, по отношению эквивалентностиПроизведения вида , где и определяются с помощью указанного выше вложения в .
с отношением порядкаЗдесь под понимается класс эквивалентности, которому принадлежит пара .
и алгебраическими операциями
и при этом вложение в описывается формулой . Класс эквивалентности интерпретируется как рациональное число в обычной записи (с , ). Вещественные числа определяются как дедекиндовы сечения множества рациональных чисел (с индуцированными из алгебраическими операциями и отношением порядка). Комплексные числа — как элементы декартова квадрата множества вещественных чисел с алгебраическими операциями ,
и при этом вложение в описывается формулой . Мнимая единица определяется в этой конструкции как пара , и вместе с предыдущими обозначениями это даёт тождество
интерпретируемое как обычная алгебраическая запись комплексного числа.
♦ Другая иллюстрация: математический анализ, как теория, описывающая свойства функций на вещественных числахИли отображений с областью определения в и множеством значений в (где под понимается -я декартова степень )., может считаться дефинициальным расширением теории множеств, потому что обе главные его конструкции — функция (отображение) и вещественное число — как уже было сказано выше, представляют собой множества.
♦ Следующая иллюстрация: в алгебре понятие группы описывается как множество с заданной на нём операцией , отображающей декартов квадрат в , и обладающей нужными свойствами (ассоциативность, существование нейтрального элемента 1 и обратного элемента для каждого ). Поскольку, как уже объяснялось, отображения представляют собой частный случай множеств, всю конструкцию группы можно интерпретировать как множество с дополнительной структурой в виде ещё одного множества с определёнными свойствами.
♦ Основная конструкция топологии, понятие топологического пространства определяется как произвольное множество с фиксированным множеством подмножеств в , содержащим и , и замкнутым относительно объединений и конечных пересечений (такое множество подмножеств в называется топологией на множестве , а элементы — открытыми множествами в ).
♦ Похожим образом, во всей остальной математике (исключая лишь некоторые области математической логики, служащие фундаментом для построения самой теории множеств и/или изучающие формально более общие вопросы) используемые понятия определяются как множества (возможно, некоторого специального вида) с заданными на них дополнительными структурами (которые также определяются как множества нужного вида)Здесь необходимо уточнение: иногда возникают ситуации, когда вместо понятия «множество» математику приходится использовать несколько более широкое понятие «класс», описываемое в теориях фон Неймана — Бернайса — Геделя NBG и Морса — Келли MK. Мы об этом пишем ниже.. Таковы, в частности, решётки, кольца, модули, поля, векторные пространства, более широко, все алгебраические системы в алгебре, многообразия со всевозможными дополнительными структурами типа метрики, связности, кривизны и т. п. в геометрии, меры с порождаемыми ими пространствами функций и операторов в анализе, вероятностные пространства и случайные величины в теории вероятностей, объекты с морфизмами в теории категорий, и т. д.
Фактически, все математические теории описываются ныне как дефинициальные расширения какой-нибудь теории множеств из разработанного для этих целей стандартного спискаСм. объяснения ниже. (причём в подавляющем большинстве случаев подходит любая теория из этого списка), и именно по этой причине теория множеств считается в наше время языком математики.
Развитие математики показало, что понятие множества само по себе требует аккуратного определения, чтобы недосказанности в понимании его свойств не приводили к противоречиям. Для решения этой проблемы правила построения теорий, подобных тем, где должны описываться свойства множеств, были строго формализованы, и в нынешних (аксиоматических) теориях, построенных по этим новым правилам, и называемых теориями первого порядкаДж. Шенфилд. Математическая логика. М.: Наука, 1975. с. 42-43.Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984. с. 63-67., элементы двусмысленности исключены, а выбираемые аксиомы проходят первичную проверку на предмет появления очевидных несуразностей.Математическая логика. Математическая энциклопедия. Т. 3, М.: Советская энциклопедия, 1982.
Это позволило избавиться от всех появившихся в начале XX века противоречий в математике (правда, без гарантий, что новые противоречия не появятся в будущемСм. раздел «Гильбертовский формализм» ниже.). С другой стороны, довольно быстро обнаружилось, что предпочтения в выборе аксиом у математиков неодинаковы, и это привело к появлению многочисленных неэквивалентных аксиоматических теорий множеств. Наибольшей популярностью среди них пользуются ныне теория ZF Цермело — ФренкеляДж. Шенфилд. Математическая логика. М.: Наука, 1975. Глава 9. с различными своими модификациями, в частности, с присоединённой к ней аксиомой выбора (этот вариант ZF имеет обозначение ZFC), и/или универсумом Гротендика, теория NBG фон Неймана — Бернайса — ГёделяМендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984. Глава 4. и теория Морса — Келли.