В математике Теорема Риба об устойчивости утверждает, что если слоение коразмерности один имеет замкнутый слой с конечной фундаментальной группой, то все его слои замкнуты и имеют конечную фундаментальную группу. Доказана французским математиком Жоржем Рибом.
Теорема Риба о локальной устойчивости
ТеоремаG. Reeb, : Пусть гладкое (класса ) слоение коразмерности на многообразии и компактный слой с конечной группой голономии. Тогда всякая трубчатая окрестность слоя содержит меньшую окрестность , состоящую из целых слоев слоения (т.н. насыщенную окрестность), все слои которой являются компактными и имеют конечную группу голономии. Более того, определена ретракция такая, что для каждого слоя , отображение является конечнолистным накрытием и для каждой точки , прообраз гомеоморфен диску и трансверсален слоям .
В частности, если слой односвязен, то он обладает насыщенной окрестностью, слоение в которой диффеоморфно слоению произведения .
Теорема также может быть сформулирована для некомпактного слоя.T.Inaba, Reeb stability of noncompact leaves of foliations,— Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 59:158{160, 1983 J. Cantwell and L. Conlon, Reeb stability for noncompact leaves in foliated 3-manifolds, — Proc. Amer.Math.Soc. 33 (1981), no. 2, 408–410.
Теорема Риба о глобальной стабильности
В теории слоений весьма интересным представляется вопрос о том, как наличие у слоения компактного слоя влияет на глобальную структуру слоения. Для некоторых классов слоений эта задача имеет решение.
Теорема: Пусть гладкое (класса ) слоение коразмерности 1 на замкнутом многообразии . Если имеет компактный слой с конечной фундаментальной группой, то все слои также являются компактными и имеют конечную фундаментальную группу. Если слоение трансверсально ориентируемо, то каждый слой диффеоморфен ; при этом многообразие является тотальным пространством расслоения над окружностью со слоем .
Эта теорема верна также и для многообразия с краем, при условии, что слоение касается некоторых компонент границы, а другим трансверсально.C. Godbillon, Feuilletages, etudies geometriques, — Basel, Birkhauser, 1991. В этом случае, из неё следует теорема Риба о сфере.
Теорема Риба о глобальной стабильности неверна для слоений коразмерности большей единицыW.T.Wu and G.Reeb, Sur les éspaces fibres et les variétés feuillitées, — Hermann, 1952.. Однако, для некоторых специальных классов слоений справедливы аналогичные результаты:
При наличии специальной трансверсальной структуры:
ТеоремаR.A. Blumenthal, Stability theorems for conformal foliations, — Proc. AMS. 91, 1984, p. 55- 63. : Пусть полное конформное слоение коразмерности на связном многообразии . Если имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои являются компактными и имеют конечную группу голономии.
Для голоморфных слоений на кэлеровых многообразиях:
ТеоремаJ.V. Pereira, Global stability for holomorphic foliations on Kaehler manifolds, — Qual. Theory Dyn. Syst. 2 (2001), 381--384. : Пусть голоморфное слоение коразмерности на компактном комплексном кэлеровом многообразии. Если имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои являются компактными и имеют конечную группу голономии.
Литература
И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979. Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213
Примечания
Категория:Топология Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Слоения Риба об устойчивости